11.7.1 Mostre que, se
ela é automaticamente igual a
Passo 1
O enunciado define a função esférica de Neumann de ordem
como
e pede para mostrar que isto implica automaticamente
O conteúdo necessário é a relação entre as funções de Bessel de primeira espécie
e de segunda espécie (ou Neumann)
, em particular a fórmula que expressa
em termos de
e
.
Passo 2
Lembramos a identidade padrão para
:
Esta fórmula vem das definições das soluções independentes da equação de Bessel.
Passo 3
Agora tomamos
. Calculamos
Substituindo em
, obtemos
Passo 4
Bastou achar
. Agora voltamos à definição esférica:
e, extraindo o fator
, chega-se exatamente ao que se queria mostrar.