11.7.1 Mostre que, se
nn(x)=raizpi2 x Nn+1 / 2(x)
ela é automaticamente igual a
(-1)^n+1 raizpi2 x J-n-1 / 2(x)

Passo 1

O enunciado define a função esférica de Neumann de ordem n como
nn(x)=raizpi2x;Nn+1/2(x)
e pede para mostrar que isto implica automaticamente
nn(x)=(-1)^n+1raizpi2x;J-n-1/2(x)
O conteúdo necessário é a relação entre as funções de Bessel de primeira espécie Jnu e de segunda espécie (ou Neumann) Nnu, em particular a fórmula que expressa Nnu(x) em termos de Jnu(x) e J-nu(x).

Passo 2

Lembramos a identidade padrão para nunotinZ:
Nnu(x)=Jnu(x)cos(nupi)-J-nu(x)sin(nupi)
Esta fórmula vem das definições das soluções independentes da equação de Bessel.

Passo 3

Agora tomamos nu=n+tfrac12. Calculamos
cosl((n+tfrac12)pir)=0, sinl((n+tfrac12)pir)=(-1)^n
Substituindo em Nnu, obtemos
Nn+1/2(x) =0cdot Jn+1/2(x)-J-n-1/2(x)(-1)^n =;(-1)^n+1,J-n-1/2(x)

Passo 4

Bastou achar Nn+1/2(x)=(-1)^n+1J-n-1/2(x). Agora voltamos à definição esférica:
nn(x) =raizpi2x;Nn+1/2(x) =raizpi2x;l((-1)^n+1J-n-1/2(x)r)
e, extraindo o fator (-1)^n+1, chega-se exatamente ao que se queria mostrar.

Resposta

nn(x) =(-1)^n+1raizpi2x,J-n-1/2(x)

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