11.7.1 Mostre que, se
n_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2 x}} N_{n+1 / 2}(x)
ela é automaticamente igual a
(-1)^{n+1} \sqrt{\frac{\pi}{2 x}} J_{-n-1 / 2}(x)

Passo 1

O enunciado define a função esférica de Neumann de ordem n como
n_{n}(x)=\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;N_{n+1/2}(x)
e pede para mostrar que isto implica automaticamente
n_{n}(x)=(-1)^{n+1}\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;J_{-n-1/2}(x).
O conteúdo necessário é a relação entre as funções de Bessel de primeira espécie J_{\nu} e de segunda espécie (ou Neumann) N_{\nu}, em particular a fórmula que expressa N_{\nu}(x) em termos de J_{\nu}(x) e J_{-\nu}(x).

Passo 2

Lembramos a identidade padrão para \nu\notin\mathbb{Z}:
N_{\nu}(x)=\frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}.
Esta fórmula vem das definições das soluções independentes da equação de Bessel.

Passo 3

Agora tomamos \nu=n+\tfrac12. Calculamos
\cos\bigl((n+\tfrac12)\pi\bigr)=0, \qquad \sin\bigl((n+\tfrac12)\pi\bigr)=(-1)^{n}.
Substituindo em N_{\nu}, obtemos
N_{n+1/2}(x) =\frac{0\cdot J_{n+1/2}(x)-J_{-n-1/2}(x)}{(-1)^n} =\;(-1)^{n+1}\,J_{-n-1/2}(x).

Passo 4

Bastou achar N_{n+1/2}(x)=(-1)^{n+1}J_{-n-1/2}(x). Agora voltamos à definição esférica:
n_{n}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;N_{n+1/2}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;\bigl((-1)^{n+1}J_{-n-1/2}(x)\bigr)
e, extraindo o fator (-1)^{n+1}, chega-se exatamente ao que se queria mostrar.

Resposta

n_{n}(x) =(-1)^{n+1}\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,J_{-n-1/2}(x).

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