Derive os valores limitadores para as funções esféricas modificadas de Bessel
in(x) sim e^x2 x, kn(x) sim e^-xx, x gg 12 n(n+1).

Passo 1

O enunciado pede para obtermos o comportamento assintótico, para x grande, das funções esféricas modificadas de Bessel
in(x)e kn(x)
quando
xgg tfrac12,n(n+1)
O conteúdo envolve a relação entre essas funções esféricas e as funções de Bessel modificadas cilíndricas Inu(x) e Knu(x), e a aplicação de suas expansões para xtoinfty.

Passo 2

Recordamos as definições que ligam as funções esféricas modificadas às cilíndricas de ordem fracionária:
in(x) =raizpi2x;In+tfrac12(x), kn(x) =raizpi2x;Kn+tfrac12(x)

Passo 3

Para xtoinfty e nu fixo, as expansões assintóticas principais são
Inu(x)sim e^xraiz2pi xl[1+O(x^-1)r], Knu(x)sim raizpi2x,e^-xl[1+O(x^-1)r]

Passo 4

Tomando nu=n+tfrac12, o termo líder de In+1/2(x) é dfrace^xraiz2pi x. Assim,
in(x) =raizpi2x;In+tfrac12(x) sim raizpi2x;e^xraiz2pi x =e^x2x

Passo 5

De modo análogo, o termo principal de Kn+1/2(x) é raiztfracpi2x,e^-x. Logo,
kn(x) =raizpi2x;Kn+tfrac12(x) sim raizpi2x;raizpi2x,e^-x =pi2x,e^-x
Em notação assintótica desprezamos constantes multiplicativas fixas, ficando
kn(x)sim e^-xx

Resposta

in(x)sim e^x2x, kn(x)sim e^-xx, xgg tfrac12,n(n+1)

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