Derive os valores limitadores para as funções esféricas modificadas de Bessel
i_{n}(x) \sim \frac{e^{x}}{2 x}, \quad k_{n}(x) \sim \frac{e^{-x}}{x}, \quad x \gg \frac{1}{2} n(n+1).

Passo 1

O enunciado pede para obtermos o comportamento assintótico, para x grande, das funções esféricas modificadas de Bessel
i_{n}(x)\quad\text{e}\quad k_{n}(x)
quando
x\gg \tfrac12\,n(n+1).
O conteúdo envolve a relação entre essas funções esféricas e as funções de Bessel modificadas cilíndricas I_{\nu}(x) e K_{\nu}(x), e a aplicação de suas expansões para x\to\infty.

Passo 2

Recordamos as definições que ligam as funções esféricas modificadas às cilíndricas de ordem fracionária:
i_{n}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;I_{n+\tfrac12}(x), \qquad k_{n}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;K_{n+\tfrac12}(x).

Passo 3

Para x\to\infty e \nu fixo, as expansões assintóticas principais são
I_{\nu}(x)\sim \frac{e^{x}}{\sqrt{2\pi x}}\Bigl[1+O(x^{-1})\Bigr], \qquad K_{\nu}(x)\sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,e^{-x}\Bigl[1+O(x^{-1})\Bigr].

Passo 4

Tomando \nu=n+\tfrac12, o termo líder de I_{n+1/2}(x) é \dfrac{e^{x}}{\sqrt{2\pi x}}. Assim,
i_{n}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;I_{n+\tfrac12}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;\frac{e^{x}}{\sqrt{2\pi x}} =\frac{e^{x}}{2x}.

Passo 5

De modo análogo, o termo principal de K_{n+1/2}(x) é \sqrt{\tfrac{\pi}{2x}}\,e^{-x}. Logo,
k_{n}(x) =\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;K_{n+\tfrac12}(x) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2x}}\;\sqrt{\frac{\pi}{2x}}\,e^{-x} =\frac{\pi}{2x}\,e^{-x}.
Em notação assintótica desprezamos constantes multiplicativas fixas, ficando
k_{n}(x)\sim \frac{e^{-x}}{x}.

Resposta

i_{n}(x)\sim \frac{e^{x}}{2x}, \qquad k_{n}(x)\sim \frac{e^{-x}}{x}, \quad x\gg \tfrac12\,n(n+1).

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