Se
é um corte e
é um número racional, prove que
.
Passo 1
O enunciado considera um corte de Dedekind
e um racional
, e define o conjunto
Queremos mostrar que, no ordenamento de cortes,
. Por definição de ordem em cortes, basta provar que
-
, e -
.
Passo 2
Provar
.
Como é um corte de Dedekind, ela é fechada para abaixo:
se e
, então
.
Agora, seja . Como
, temos
Como
se
Agora, seja
logo, por fechamento para baixo,
.
Mas então
Mas então
é de fato um elemento de
.
Concluímos que todo também está em
, ou seja
Concluímos que todo
Passo 3
Provar
.
Se , então não haveria diferença entre os dois conjuntos, mas vamos exibir um elemento de
que não está em
.
Denote por o supremo real do corte
. Como
, temos
. Pelo fato de
conter todos os racionais menores que
e não ter máximo, existe um
tal que
Se
Denote por
Agora considere
Como
, segue
Mas todos os elementos de
são estritamente menores do que
, logo
.
Por outro lado, com
mostra
.
Assim existe que não está em
, e portanto
Por outro lado,
Assim existe
Passo 4
Juntando as duas partes, temos
e
.
Pela definição de ordem em cortes de Dedekind, isto implica
Pela definição de ordem em cortes de Dedekind, isto implica
Resposta
Foi demonstrado que
e
, logo
.