Se alpha é um corte e r>0 é um número racional, prove que alpha<beta=a+r mid a in alpha.

Passo 1

O enunciado considera um corte de Dedekind alphasubsetQ e um racional r>0, e define o conjunto
beta = ,a + r mid ain alpha
Queremos mostrar que, no ordenamento de cortes, alpha<beta. Por definição de ordem em cortes, basta provar que
  1. alphasubseteq beta, e
  2. alphaneq beta.

Passo 2

Provar alphasubseteqbeta.
Como alpha é um corte de Dedekind, ela é fechada para abaixo:
se xinalpha e y<x, então yinalpha.
Agora, seja xinalpha. Como r>0, temos
x - r < x
logo, por fechamento para baixo, x - rinalpha.
Mas então
(x - r) + r = x
é de fato um elemento de beta.
Concluímos que todo xinalpha também está em beta, ou seja
alphasubseteqbeta

Passo 3

Provar alphaneqbeta.
Se alpha=beta, então não haveria diferença entre os dois conjuntos, mas vamos exibir um elemento de beta que não está em alpha.
Denote por L=supalpha o supremo real do corte alpha. Como r>0, temos L - tfrac r2 < L. Pelo fato de alpha conter todos os racionais menores que L e não ter máximo, existe um ainalpha tal que
a > L - tfrac r2
Agora considere
b = a + r
Como a > L - tfrac r2, segue
b = a + r > l(L - tfrac r2r) + r = L + tfrac r2 > L
Mas todos os elementos de alpha são estritamente menores do que L, logo bnotinalpha.
Por outro lado, b = a + r com ainalpha mostra binbeta.
Assim existe binbeta que não está em alpha, e portanto
alphaneqbeta

Passo 4

Juntando as duas partes, temos alphasubseteqbeta e alphaneqbeta.
Pela definição de ordem em cortes de Dedekind, isto implica
alpha<beta

Resposta

Foi demonstrado que alphasubseteqbeta e alphaneqbeta, logo alpha<beta.

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