A altura de um tronco de cone mede 1 m . 0 diâmetro da base maior é duas vezes o diâmetro da base menor. A geratriz forma um ângulo de 45^circ com o plano da base maior. Determine o volume do tronco de cone.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de cone de altura ,1 m, cuja base maior tem diâmetro duas vezes o diâmetro da base menor, e cuja geratriz forma um ângulo de 45^circ com o plano da base maior. O conteúdo envolve geometria de tronco de cone, relação entre raios e geratriz, e fórmula do volume de um tronco de cone.

Passo 2

Seja d o diâmetro da base menor e D o diâmetro da base maior. Como D=2d, os respectivos raios são
r = d2, R = D2 = 2d2 = d
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R = 2r

Passo 3

Denotando por g a geratriz, o ângulo alpha entre g e o plano da base maior (plano horizontal) satisfaz
tanalpha = a<uraprojeção horizontal = hR - r çã
Como alpha=45^circ e tan45^circ=1, segue
1 = 1R - r Longrightarrow R - r = 1

Passo 4

Temos o sistema
R = 2r, R - r = 1
Substituindo R=2r em 2r - r=1 r=1. Assim
R = 2r = 2

Passo 5

O volume de um tronco de cone é
V = pi,h3,l(R^2 + R,r + r^2r)
Substituindo h=1, R=2 e r=1 obtém-se
V = picdot13l(2^2 + 2cdot1 + 1^2r) = pi3(4 + 2 + 1) = 7pi3

Resposta

V = 7pi3 m^3

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