A altura de um trapézio isósceles mede 3 raiz3 m, a base maior, 14 m e o perímetro, 34 m . Determine a área desse trapézio.

Passo 1

O enunciado descreve um trapézio isósceles de altura h=3raiz3 m, base maior B=14 m e perímetro P=34 m. Pede-se a área. Vamos usar a fórmula da área do trapézio
A = (B + b)2,h
onde b é a base menor, e usar o perímetro e o Teorema de Pitágoras para determinar b.

Passo 2

Pelo perímetro temos
P = B + b + 2,l = 34,
onde l é cada lado oblíquo. Substituindo B=14,
14 + b + 2,l = 34 Longrightarrow 2,l + b = 20 Longrightarrow l = 20 - b2

Passo 3

Em um trapézio isósceles, a projeção horizontal de cada lado sobre a base maior vale
x = B - b2 = 14 - b2
Pelo Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo formado pela altura h, a projeção x e a aresta l,
l^2 = h^2 + x^2 Longrightarrow l^2 = (3raiz3)^2 + l(tfrac14 - b2r)^2 = 27 + (14 - b)^24

Passo 4

Igualando as duas expressões para l:
l(tfrac20 - b2r)^2 = 27 + (14 - b)^24
Multiplicando por 4 e expandindo:
(20 - b)^2 = 108 + (14 - b)^2 Longrightarrow 400 - 40b + b^2 = 108 + 196 - 28b + b^2
Cancelando b^2 e agrupando termos:
400 - 40b = 304 - 28b Longrightarrow 400 - 304 = 40b - 28b Longrightarrow 96 = 12b Longrightarrow b = 8 m

Passo 5

Com b=8 m e h=3raiz3 m, a área é
A = (B + b)2,h = (14 + 8)2,(3raiz3) = 11 cdot 3raiz3 = 33raiz3 m^2

Resposta

A área do trapézio é 33raiz3 m^2.

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