As bases de um tronco de pirâmide regular são quadrados cujas diagonais medem 4 raiz2 cm e 10 raiz2 cm, respectivamente. Determine o volume do tronco, sendo 5 cm a medida da aresta lateral.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide regular de bases quadradas com diagonais de 4raiz2,cm (base menor) e 10raiz2,cm (base maior) e aresta lateral de 5,cm. Para resolver, vamos precisar de geometria espacial: calcular o lado de cada quadrado, a altura do tronco (usando Pitágoras no triângulo formado pela aresta lateral e pelo deslocamento horizontal entre vértices) e, por fim, aplicar a fórmula do volume de tronco de pirâmide.

Passo 2

O lado de um quadrado é a diagonal dividido por raiz2. Assim,
amenor=4raiz2raiz2=4cm, amaior=10raiz2raiz2=10cm

Passo 3

Cada vértice está afastado do centro em metade da diagonal. O deslocamento horizontal entre vértices correspondentes é
d = 10raiz22 - 4raiz22 =5raiz2 - 2raiz2 =3raiz2cm

Passo 4

No triângulo reto formado pela aresta lateral ( 5,cm), pela altura h do tronco e pelo deslocamento d, vale
5^2 = h^2 + (3raiz2)^2 Longrightarrow h = raiz25 - 18 = raiz7cm

Passo 5

As áreas das bases quadradas são
Bmaior = 10^2 = 100, Bmenor = 4^2 = 16

Passo 6

A fórmula do volume de um tronco de pirâmide regular é
V = h3l(Bmaior + Bmenor + raizBmaior,Bmenorr)
Substituindo,
V = raiz73l(100 + 16 + raiz100cdot16r) = raiz73(116 + 40) = 52raiz7

Resposta

52raiz7,cm^3

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