12.3.11 A amplitude de uma onda espalhada é dada por
Aqui,
é o ângulo de espalhamento,
é o autovalor do momento angular,
é o momentum incidente e
é a mudança de fase produzida pelo potencial central que está fazendo o espalhamento. A seção de choque total é
. Mostre que
Passo 1
O enunciado nos dá a amplitude de espalhamento
e define a seção de choque total como
Para mostrar o resultado pedido, vamos usar a ortogonalidade dos polinômios de Legendre no espaço angular, ou seja,
Passo 2
Escrevemos o módulo quadrado de
expandindo o produto com a sua conjugada:
Passo 3
Agora integramos sobre sólidos ângulo usando a ortogonalidade:
Pela ortogonalidade
, o somatório em
colapsa para
.
Passo 4
Substituindo o resultado da integral, temos