12.3.11 A amplitude de uma onda espalhada é dada por
f(\theta)=\frac{1}{k} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) \exp \left[i \delta_{l}\right] \operatorname{sen} \delta_{l} P_{l}(\cos \theta) .
Aqui, \theta é o ângulo de espalhamento, l é o autovalor do momento angular, \hbar k é o momentum incidente e \delta_{l} é a mudança de fase produzida pelo potencial central que está fazendo o espalhamento. A seção de choque total é \sigma_{\text {tot }}=\int|f(\theta)|^{2} d \Omega. Mostre que
\sigma_{\text {tot }}=\frac{4 \pi}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty}(2 l+1) \operatorname{sen}^{2} \delta_{l} .

Passo 1

O enunciado nos dá a amplitude de espalhamento
f(\theta)=\frac{1}{k}\sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)e^{i\delta_{l}}\sin\delta_{l}\,P_{l}(\cos\theta)
e define a seção de choque total como
\sigma_{\text{tot}}=\int|f(\theta)|^{2}\,d\Omega\,.
Para mostrar o resultado pedido, vamos usar a ortogonalidade dos polinômios de Legendre no espaço angular, ou seja,
\int P_{l}(\cos\theta)\,P_{l'}(\cos\theta)\,d\Omega = \frac{4\pi}{2l+1}\,\delta_{ll'}\,.

Passo 2

Escrevemos o módulo quadrado de f expandindo o produto com a sua conjugada:
|f(\theta)|^{2} =\frac{1}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty}\sum_{l'=0}^{\infty} (2l+1)(2l'+1)\, e^{i\delta_{l}}\sin\delta_{l}\, e^{-i\delta_{l'}}\sin\delta_{l'}\, P_{l}(\cos\theta)\,P_{l'}(\cos\theta)\,.

Passo 3

Agora integramos sobre sólidos ângulo usando a ortogonalidade:
\sigma_{\text{tot}} =\int|f(\theta)|^{2}\,d\Omega =\frac{1}{k^{2}} \sum_{l,l'}(2l+1)(2l'+1)e^{i(\delta_{l}-\delta_{l'})}\sin\delta_{l}\,\sin\delta_{l'} \int P_{l}P_{l'}\,d\Omega.
Pela ortogonalidade \int P_{l}P_{l'}\,d\Omega=4\pi/(2l+1)\,\delta_{ll'}, o somatório em l' colapsa para l'=l.

Passo 4

Substituindo o resultado da integral, temos
\sigma_{\text{tot}} =\frac{1}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)^{2}\,\sin^{2}\delta_{l}\,\frac{4\pi}{2l+1} =\frac{4\pi}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\sin^{2}\delta_{l}\,.

Resposta

\sigma_{\text{tot}} =\frac{4\pi}{k^{2}} \sum_{l=0}^{\infty}(2l+1)\sin^{2}\delta_{l}\,.

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