12.3.5 Uma determinada função
definida no intervalo
é expandida em uma série de Legendre nesse mesmo intervalo. Mostre que a expansão é única.
Passo 1
O enunciado diz que uma função
, definida em
, é escrita como série de Legendre
e pede para mostrar que essa expansão é única. Vamos usar a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
onde
é o delta de Kronecker.
Passo 2
Suponha que existam duas expansões de
em polinômios de Legendre, com coeficientes
e
:
Passo 3
Subtraindo termo a termo, define-se
de modo que
para todo
.
Passo 4
Multiplique ambos os lados por
e integre de
a
:
Pela linearidade da integral, isso dá
Passo 5
Pela ortogonalidade, apenas o termo
sobrevive:
Logo
para todo
.
Resposta
A expansão em série de Legendre é única, pois todos os coeficientes coincidem.