12.3.5 Uma determinada função f(x) definida no intervalo [-1,1] é expandida em uma série de Legendre nesse mesmo intervalo. Mostre que a expansão é única.

Passo 1

O enunciado diz que uma função f(x), definida em [-1,1], é escrita como série de Legendre
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nP_n(x)
e pede para mostrar que essa expansão é única. Vamos usar a propriedade de ortogonalidade dos polinômios de Legendre:
\int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)\,dx=\frac{2}{2n+1}\,\delta_{nm},
onde \delta_{nm} é o delta de Kronecker.

Passo 2

Suponha que existam duas expansões de f em polinômios de Legendre, com coeficientes \{a_n\} e \{b_n\}:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nP_n(x) \quad\text{e}\quad f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nP_n(x).

Passo 3

Subtraindo termo a termo, define-se
c_n = a_n - b_n
de modo que
\sum_{n=0}^{\infty}c_nP_n(x)=0
para todo x\in[-1,1].

Passo 4

Multiplique ambos os lados por P_m(x) e integre de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}\Bigl(\sum_{n=0}^{\infty}c_nP_n(x)\Bigr)P_m(x)\,dx = 0.
Pela linearidade da integral, isso dá
\sum_{n=0}^{\infty}c_n\int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)\,dx = 0.

Passo 5

Pela ortogonalidade, apenas o termo n=m sobrevive:
c_m\;\frac{2}{2m+1} = 0 \quad\Longrightarrow\quad c_m=0 \quad\forall m.
Logo a_m=b_m para todo m.

Resposta

A expansão em série de Legendre é única, pois todos os coeficientes coincidem.

Exercícios de Livros Relacionados