13.4.6 Por analogia com a função gama incompleta, podemos definir uma função beta incompleta por
Mostre que
Passo 1
O enunciado define a função beta incompleta
e pede para mostrar que
Vamos usar a expansão em série de potências de
(binomial generalizado) e depois integrar termo a termo, comparando com a série que define a função hipergeométrica
.
Passo 2
A expansão binomial generalizada diz que, para
,
onde
e podemos escrever isso em termos do símbolo de Pochhammer
pois
Logo
Passo 3
Substituindo a série em
e integrando termo a termo:
Como
temos
Passo 4
Por outro lado, a definição em série da função hipergeométrica é
Multiplicando essa série por
, obtemos
Agora note que
portanto
e a série passa a ser
que coincide exatamente com a expressão obtida para
.