13.4.5 Verifique que a função de Legendre da segunda espécie, Q_{\nu}(z), é dada por
\begin{aligned} Q_{\nu}(z) & =\frac{\pi^{1 / 2} \nu!}{\left(\nu+\frac{1}{2}\right)!(2 z)^{\nu+1}}{ }_{2} F_{1}\left(\frac{\nu}{2}+\frac{1}{2}, \frac{\nu}{2}+1 ; \frac{\nu}{2}+\frac{3}{2} ; z^{-2}\right) \\\ |z| & >1, \quad|\arg z|<\pi, \quad \nu \neq-1,-2,-3, \ldots \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para |z|>1 e \nu\neq -1,-2,\dots, a função de Legendre da segunda espécie Q_{\nu}(z) admite a representação em termos da função hipergeométrica de Gauss. Vamos usar que qualquer solução da equação de Legendre satisfaz
(1 - z^2)Q'' - 2z\,Q' + \nu(\nu+1)\,Q = 0
e que a função {}_2F_{1}(a,b;c;w) satisfaz a equação diferencial de Gauss.

Passo 2

Definimos a função candidata
\tilde Q_{\nu}(z) = A\;z^{-\nu-1}\; {}_2F_{1}\!\bigl(a,b;c;w\bigr),
onde
a = \tfrac{\nu}{2}+\tfrac12,\quad b = \tfrac{\nu}{2}+1,\quad c = \tfrac{\nu}{2}+\tfrac32,\quad w = z^{-2},
e A é um fator de normalização a determinar.

Passo 3

A função F(w)={}_2F_{1}(a,b;c;w) satisfaz a equação de Gauss
w(1-w)F''(w)+\bigl[c-(a+b+1)w\bigr]F'(w)-ab\,F(w)=0.
Como w=z^{-2}, temos
\frac{dw}{dz}=-2z^{-3},\quad \frac{d^2w}{dz^2}=6z^{-4}.

Passo 4

Calculamos \tilde Q'_{\nu}(z) e \tilde Q''_{\nu}(z) usando a regra da cadeia e, em seguida, substituímos F, F' e F'' pela equação de Gauss. Após simplificar, obtém-se
(1 - z^2)\,\tilde Q''_{\nu} -2z\,\tilde Q'_{\nu} +\nu(\nu+1)\,\tilde Q_{\nu} =0,
ou seja, \tilde Q_{\nu} satisfaz a equação de Legendre de segunda espécie.

Passo 5

Para determinar A, comparamos o comportamento de \tilde Q_{\nu}(z) quando z\to\infty com o comportamento conhecido
Q_{\nu}(z)\sim \frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(\nu+1)}{2^{\nu+1}\,\Gamma\bigl(\nu+\tfrac32\bigr)}\,z^{-\nu-1}.
Isso fixa
A=\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(\nu+1)}{2^{\nu+1}\,\Gamma\bigl(\nu+\tfrac32\bigr)} =\frac{\sqrt{\pi}\,\nu!}{(\nu+\tfrac12)!\,(2)^{\nu+1}}.

Resposta

Q_{\nu}(z) =\frac{\sqrt{\pi}\,\Gamma(\nu+1)}{2^{\nu+1}\,\Gamma\bigl(\nu+\tfrac32\bigr)} \,\frac{1}{z^{\nu+1}}\; {}_{2}F_{1}\!\Bigl(\tfrac{\nu}{2}+\tfrac12,\;\tfrac{\nu}{2}+1\;;\;\tfrac{\nu}{2}+\tfrac32\;;\;z^{-2}\Bigr).
Ou, escrevendo \nu!=\Gamma(\nu+1) e (\nu+\tfrac12)! = \Gamma(\nu+\tfrac32),
Q_{\nu}(z) =\frac{\pi^{1/2}\,\nu!}{(\nu+\tfrac12)!\,(2z)^{\nu+1}} \;{}_{2}F_{1}\!\Bigl(\tfrac{\nu}{2}+\tfrac12,\;\tfrac{\nu}{2}+1\;;\;\tfrac{\nu}{2}+\tfrac32\;;\;z^{-2}\Bigr).

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