13.4.5 Verifique que a função de Legendre da segunda espécie,
, é dada por
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
e
, a função de Legendre da segunda espécie
admite a representação em termos da função hipergeométrica de Gauss. Vamos usar que qualquer solução da equação de Legendre satisfaz
e que a função
satisfaz a equação diferencial de Gauss.
Passo 2
Definimos a função candidata
onde
e
é um fator de normalização a determinar.
Passo 3
A função
satisfaz a equação de Gauss
Como
, temos
Passo 4
Calculamos
e
usando a regra da cadeia e, em seguida, substituímos
,
e
pela equação de Gauss. Após simplificar, obtém-se
ou seja,
satisfaz a equação de Legendre de segunda espécie.
Passo 5
Para determinar
, comparamos o comportamento de
quando
com o comportamento conhecido
Isso fixa
Resposta
Ou, escrevendo
e
,