Um anel esférico é gerado por um segmento circular cuja corda mede
. Sendo V o volume do anel, calcule a projeção da corda sobre o eixo.
Passo 1
O enunciado nos dá um segmento circular de uma circunferência de raio
, cuja corda mede
. Ao girar esse segmento em torno do diâmetro da circunferência obtemos um anel esférico (ou “sólido de revolução” equivalente a um segmento esférico) de volume
.
Conteúdos necessários:
Conteúdos necessários:
- Relação entre a medida da corda
, a altura do segmento (que é a projeção da corda sobre o eixo de revolução) e o raio . - Fórmula do volume de um segmento esférico (ou “anel esférico”) de altura
em uma esfera de raio . - Eliminação de
para obter uma equação só em , e solução dessa equação cúbica (fórmula de Cardano).
Passo 2
Na geometria do segmento esférico temos:
– A altura do segmento (distância entre o plano da corda e o ponto mais alto da esfera) é .
– O raio da base do segmento (meio da corda) é
– A altura do segmento (distância entre o plano da corda e o ponto mais alto da esfera) é
– O raio da base do segmento (meio da corda) é
Mas a corda mede
. Logo
Passo 3
A fórmula do volume
de um segmento esférico de altura
em esfera de raio
é
Substituindo
nesta expressão:
Agrupando os termos em
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 4
Reescrevendo em forma de equação cúbica para
:
Isso é da forma
Passo 5
Aplicando a fórmula de Cardano, a raiz real positiva é
Substituindo
e
:
Assim finalmente
Resposta
onde
é a projeção da corda de comprimento
sobre o eixo (altura do segmento esférico de volume
).