Um anel esférico é gerado por um segmento circular cuja corda mede ell. Sendo V o volume do anel, calcule a projeção da corda sobre o eixo.

Passo 1

O enunciado nos dá um segmento circular de uma circunferência de raio R, cuja corda mede ell. Ao girar esse segmento em torno do diâmetro da circunferência obtemos um anel esférico (ou “sólido de revolução” equivalente a um segmento esférico) de volume V.
Conteúdos necessários:
  1. Relação entre a medida da corda ell, a altura h do segmento (que é a projeção da corda sobre o eixo de revolução) e o raio R.
  2. Fórmula do volume de um segmento esférico (ou “anel esférico”) de altura h em uma esfera de raio R.
  3. Eliminação de R para obter uma equação só em h, e solução dessa equação cúbica (fórmula de Cardano).

Passo 2

Na geometria do segmento esférico temos:
– A altura do segmento (distância entre o plano da corda e o ponto mais alto da esfera) é h.
– O raio da base do segmento (meio da corda) é
a ;=;raiz,2Rh ;-;h^2,,
Mas a corda mede ell=2a. Logo
ell^2 ;=;4a^2 ;=;4l(2Rh - h^2r) ;;Longrightarrow;; 8Rh ;=;ell^2 ;+;4h^2 ;;Longrightarrow;; R ;=;ell^2+4h^28h,

Passo 3

A fórmula do volume V de um segmento esférico de altura h em esfera de raio R é
V ;=;pi,h^2l(R - tfrach3r) ;=;pi,h^2R ;-;tfracpi,h^33,
Substituindo R=(ell^2+4h^2)/(8h) nesta expressão:
V =;pi,h^2ell^2+4h^28h;-;pi,h^33 =;pi!l(ell^2h8+h^32r);-;pi,h^33 =;pil(tfracell^2h8+tfrach^32-tfrach^33r)
Agrupando os termos em h:
V =;pil(tfracell^2h8+tfrach^36r) =;pi hl(tfracell^28+tfrach^26r)
Multiplicando ambos os lados por 24/pi:
24pi,V =;3,ell^2,h ;+;4,h^3

Passo 4

Reescrevendo em forma de equação cúbica para h:
4h^3 ;+;3ell^2,h ;-;24pi,V ;=;0
Isso é da forma
h^3 + p,h + q = 0, p = 3ell^24, q = -6piV

Passo 5

Aplicando a fórmula de Cardano, a raiz real positiva é
h = raiz[3]-tfracq2 + raizl(tfracq2r)^2 + l(tfracp3r)^3 ;+; raiz[3]-tfracq2 - raizl(tfracq2r)^2 + l(tfracp3r)^3,
Substituindo p e q:
-tfracq2 = 3Vpi, l(tfracq2r)^2 = l(tfrac3Vpir)^2, l(tfracp3r)^3 = l(tfracell^24r)^3 = tfracell^664
Assim finalmente
h = raiz[3]3Vpi ;+;raizl(3Vpir)^2 ;+;ell^664 ;+; raiz[3]3Vpi ;-;raizl(3Vpir)^2 ;+;ell^664,

Resposta

boxed h = raiz[3]3Vpi + raizl(3Vpir)^2 + ell^664 ;+; raiz[3]3Vpi - raizl(3Vpir)^2 + ell^664
onde h é a projeção da corda de comprimento ell sobre o eixo (altura do segmento esférico de volume V).

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