Qual é a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero com altura igual ao raio de um círculo para o perímetro do triângulo equilátero inscrito nesse círculo?
Passo 1
O enunciado pede a razão entre dois perímetros de triângulos equiláteros associados a um mesmo círculo de raio
:
- O triângulo cuja altura vale
. - O triângulo inscrito no círculo, cujo circuncírculo tem raio
.
Para resolver, vamos usar duas fórmulas clássicas de geometria de triângulo equilátero:
- Altura em função do lado:
- Circunraio em função do lado:
Passo 2
Chamemos de
o lado do triângulo cuja altura
é igual a
. Usando
temos
Passo 3
O perímetro desse triângulo é
Passo 4
Agora, chamemos de
o lado do triângulo equilátero inscrito no círculo de raio
. Como para esse triângulo vale
segue
Passo 5
O perímetro do triângulo inscrito é
Passo 6
A razão pedida é