Qual é a razão entre o perímetro de um triângulo equilátero com altura igual ao raio de um círculo para o perímetro do triângulo equilátero inscrito nesse círculo?

Passo 1

O enunciado pede a razão entre dois perímetros de triângulos equiláteros associados a um mesmo círculo de raio R:
  1. O triângulo cuja altura vale R.
  2. O triângulo inscrito no círculo, cujo circuncírculo tem raio R.
    Para resolver, vamos usar duas fórmulas clássicas de geometria de triângulo equilátero:
  • Altura em função do lado:
h = raiz32,a
  • Circunraio em função do lado:
R = araiz3

Passo 2

Chamemos de a1 o lado do triângulo cuja altura h é igual a R. Usando
h = raiz32,a1 = R,
temos
a1 = 2Rraiz3

Passo 3

O perímetro desse triângulo é
P1 = 3,a1 = 3cdot2Rraiz3 = 6Rraiz3 = 2raiz3,R

Passo 4

Agora, chamemos de a2 o lado do triângulo equilátero inscrito no círculo de raio R. Como para esse triângulo vale
R = a2raiz3,
segue
a2 = Rraiz3

Passo 5

O perímetro do triângulo inscrito é
P2 = 3,a2 = 3,(Rraiz3) = 3raiz3,R

Passo 6

A razão pedida é
P1P2 = 2raiz3,R3raiz3,R = 23

Resposta

23

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