Os ângulos de um hexágono convexo medem 120^circ. Determine a área desse hexágono, sendo os lados opostos congruentes e medindo 4 m, 6 m e 8 m .

Passo 1

O enunciado dá um hexágono convexo em que todos os ângulos internos medem 120^circ e cujos lados, em ordem, são
4,6,8,4,6,8 (os opostos são iguais).
Queremos a área de um polígono equiangular. Uma forma simples é representar cada lado por um vetor num plano, usando que o ângulo externo é de 60^circ (pois 180^circ-120^circ=60^circ), e depois aplicar a fórmula da área via soma de produtos vetoriais.

Passo 2

Escolhemos o primeiro lado ao longo do eixo x. Denotemos por vi o vetor que representa o i-ésimo lado, com magnitude igual ao comprimento e defasado 60^circ em relação ao anterior. Assim:\r
v1 &= (4,0), v2 &= 6l(cos60^circ,sin60^circr) = (3,3raiz3), v3 &= 8l(cos120^circ,sin120^circr) = (-4,4raiz3), v4 &= 4l(cos180^circ,sin180^circr) = (-4,0), v5 &= 6l(cos240^circ,sin240^circr) = (-3,-3raiz3), v6 &= 8l(cos300^circ,sin300^circr) = (4,-4raiz3)

Passo 3

Para uma poligonal fechada por vetores v1,dots, v6, a área vale\r
Área ;=;tfrac12l|sumi=1^6 vitimes vi+1r| com; v7= v1, Á\r
onde vitimes vi+1=xi,yi+1-yi,xi+1 Calculando cada termo:\r
v1times v2 &= 4cdot3raiz3-0cdot3 = 12raiz3, v2times v3 &= 3cdot4raiz3 - (3raiz3)(-4) =24raiz3, v3times v4 &= (-4)cdot0 - (4raiz3)(-4)=16raiz3, v4times v5 &=(-4)(-3raiz3)-0cdot(-3)=12raiz3, v5times v6 &=(-3)(-4raiz3)-(-3raiz3)cdot4=24raiz3, v6times v1 &=4cdot0 -(-4raiz3)cdot4=16raiz3 \r
Somando-os obtém-se\r
sumi=1^6 vitimes vi+1 = (12+24+16+12+24+16)raiz3 =104raiz3

Passo 4

Logo a área é\r
Área = tfrac12l(104raiz3r) = 52raiz3 Á

Resposta

52raiz3 m^2

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