Determine a área de um triângulo equilátero em função do raio r do círculo inscrito nesse triângulo.

Passo 1

O enunciado quer a área de um triângulo equilátero em função do raio r do círculo inscrito. A estratégia é relacionar primeiro o raio inscrito com o lado a do triângulo e, em seguida, usar a fórmula da área em função de a.

Passo 2

Denotando por a o comprimento do lado do triângulo, em um equilátero vale
r = araiz36

Passo 3

Isolando a em termos de r, obtemos
a = 6rraiz3 = 2rraiz3

Passo 4

A área A de um triângulo equilátero de lado a é
A = a^2raiz34
Substituindo a = 2rraiz3 nessa expressão,
A = (2rraiz3)^2raiz34 = 4r^2cdot3raiz34 = 3raiz3,r^2

Resposta

A(r) = 3raiz3,r^2

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