0 apótema de uma pirâmide triangular regular mede
base, 15 cm . Calcule a área total e o volume do tronco que se obtém cortando a pirâmide, a 24 cm do vértice, por um plano paralelo à base.
Passo 1
O enunciado descreve uma pirâmide de base triangular regular em que o apótema lateral vale
cm e o apótema da base vale
cm. Cortamos essa pirâmide por um plano paralelo à base a
cm do vértice, gerando um tronco. Para resolver, vamos calcular a altura da pirâmide por Pitágoras, usar semelhança para obter as dimensões da pirâmide menor retirada pelo corte e, em seguida, aplicar as fórmulas de área total e volume do tronco de pirâmide.
Passo 2
A apótema da base de um triângulo equilátero de lado
é
. Logo,
A área da base original é
Para achar a altura
da pirâmide, usamos Pitágoras no triângulo formado pelo eixo, a apótema da base e o apótema lateral
:
Passo 3
A pirâmide que sobra acima do plano de corte é semelhante à original, com razão linear
Dessa semelhança decorre que o lado da base superior vale
o apótema lateral dessa pirâmide menor é
e sua área de base é
Passo 4
O tronco resultante tem altura
slant-height (apótema lateral do tronco)
perímetro da base maior
e da base menor
. A área lateral do tronco é dada por
Passo 5
A área total do tronco inclui as duas bases e a superfície lateral:
Passo 6
O volume do tronco de pirâmide é
Como
, temos
Resposta
Área total do tronco:
Volume do tronco:
Volume do tronco: