0 apótema de uma pirâmide triangular regular mede 39 cm e o apótema daó base, 15 cm . Calcule a área total e o volume do tronco que se obtém cortando a pirâmide, a 24 cm do vértice, por um plano paralelo à base.

Passo 1

O enunciado descreve uma pirâmide de base triangular regular em que o apótema lateral vale 39 cm e o apótema da base vale 15 cm. Cortamos essa pirâmide por um plano paralelo à base a 24 cm do vértice, gerando um tronco. Para resolver, vamos calcular a altura da pirâmide por Pitágoras, usar semelhança para obter as dimensões da pirâmide menor retirada pelo corte e, em seguida, aplicar as fórmulas de área total e volume do tronco de pirâmide.

Passo 2

A apótema da base de um triângulo equilátero de lado a é araiz36=15. Logo,
a = 6cdot15raiz3 = 30raiz3 cm
A área da base original é
A1 = raiz34,a^2 = raiz34,(30raiz3)^2 = 675raiz3,cm^2
Para achar a altura H da pirâmide, usamos Pitágoras no triângulo formado pelo eixo, a apótema da base e o apótema lateral l=39:
H = raizl^2 - 15^2 = raiz39^2 - 15^2 = raiz1521 - 225 = 36 cm

Passo 3

A pirâmide que sobra acima do plano de corte é semelhante à original, com razão linear
k = 24H = 2436 = tfrac23
Dessa semelhança decorre que o lado da base superior vale
a2 = k,a = tfrac23cdot30raiz3 = 20raiz3 cm,
o apótema lateral dessa pirâmide menor é
l2 = k,l = tfrac23cdot39 = 26 cm,
e sua área de base é
A2 = raiz34,(20raiz3)^2 = 300raiz3,cm^2

Passo 4

O tronco resultante tem altura
Hf = H - 24 = 36 - 24 = 12 cm,
slant-height (apótema lateral do tronco)
lf = l - l2 = 39 - 26 = 13 cm,
perímetro da base maior P1 = 3a = 90raiz3 e da base menor P2 = 3a2 = 60raiz3. A área lateral do tronco é dada por
AL = P1 + P22;lf = 90raiz3+60raiz32times13 = 975raiz3,cm^2

Passo 5

A área total do tronco inclui as duas bases e a superfície lateral:
Atotal = A1 + A2 + AL = 675raiz3 + 300raiz3 + 975raiz3 = 1950raiz3,cm^2

Passo 6

O volume do tronco de pirâmide é
V = Hf3,l(A1 + A2 + raizA1A2r)
Como raizA1A2=raiz675raiz3cdot300raiz3=450raiz3, temos
V = 123,(675raiz3+300raiz3+450raiz3) = 4cdot1425raiz3 = 5700raiz3,cm^3

Resposta

Área total do tronco: 1950raiz3,cm^2
Volume do tronco: 5700raiz3,cm^3

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