Mostre que a área de um quadrilátero com diagonais de medidas a e b, que formam ângulo alpha, é dada por S=12 a b sen alpha.

Passo 1

Temos um quadrilátero convexo cujas diagonais se cruzam no ponto O. As diagonais medem a e b e formam um ângulo alpha em O. Queremos calcular a área total S desse quadrilátero usando apenas a, b e alpha. O conteúdo-chave é a fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo entre eles:
área do triângulo = tfrac12(lado1)(lado2)sin(ângulo entre e<=s) áââ

Passo 2

Marquemos as interseções das diagonais: seja
AO = p, OC = a - p, BO = q, OD = b - q
Então cada uma das quatro partes em que as diagonais dividem o quadrilátero é um triângulo com dois lados conhecidos e ângulo em O igual a alpha ou pi-alpha.

Passo 3

Aplicando a fórmula da área do triângulo em cada uma das quatro partes, temos:
SAOB = tfrac12,p,qsinalpha,
SCOD = tfrac12,(a-p)(b-q)sinalpha,
SBOC = tfrac12,(a-p),qsin(pi-alpha) = tfrac12,(a-p),qsinalpha,
SDOA = tfrac12,p,(b-q)sin(pi-alpha) = tfrac12,p,(b-q)sinalpha

Passo 4

Somando as quatro áreas e fatorando tfrac12sinalpha, obtemos
S = SAOB+SBOC+SCOD+SDOA = tfrac12sinalphal[pq + (a-p)q + p(b-q) + (a-p)(b-q)r]
Expandindo o colchete:
pq + (a-p)q + p(b-q) + (a-p)(b-q) = pq + aq - pq + pb - pq + ab - aq - bp + pq = ab
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S = tfrac12,ab,sinalpha

Resposta

S = 12,a,b,sinalpha

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