Mostre que a área de um quadrilátero com diagonais de medidas a e
, que formam ângulo
, é dada por
.
Passo 1
Temos um quadrilátero convexo cujas diagonais se cruzam no ponto
. As diagonais medem
e
e formam um ângulo
em
. Queremos calcular a área total
desse quadrilátero usando apenas
,
e
. O conteúdo-chave é a fórmula da área de um triângulo em função de dois lados e do ângulo entre eles:
Passo 2
Marquemos as interseções das diagonais: seja
Então cada uma das quatro partes em que as diagonais dividem o quadrilátero é um triângulo com dois lados conhecidos e ângulo em
igual a
ou
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da área do triângulo em cada uma das quatro partes, temos:
Passo 4
Somando as quatro áreas e fatorando
, obtemos
Expandindo o colchete:
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