A área de um círculo é função do comprimento de sua circunferência? Se for, qual é essa função?

Passo 1

O enunciado pergunta se a área de um círculo pode ser expressa como função do comprimento da sua circunferência e, em caso afirmativo, qual é essa função. Vamos usar as fórmulas conhecidas de geometria para relacionar área, raio e comprimento da circunferência.

Passo 2

Sabemos que, para um círculo de raio r:
– A área é dada por
A = pi r^2
– O comprimento da circunferência é
C = 2pi r

Passo 3

Podemos isolar o raio r em função de C. Da fórmula de C temos
r = C2pi

Passo 4

Substituindo essa expressão de r na fórmula da área, obtemos
A = pigl(C2pigr)^2 = piC^24pi^2 = C^24pi

Resposta

A área em função do comprimento da circunferência é
A(C) = C^24pi

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