A área lateral de uma pirâmide regular de base quadrada é 240 m^2. O comprimento do lado da base é 32 da altura. Conduz-se um plano paralelo ao plano da base; a seção está a 14 da altura, a partir do vértice. Qual a área da seção?

Passo 1

O enunciado fala de uma pirâmide regular de base quadrada com área lateral de 240, m^2 e cujo lado da base b é tfrac32 da altura h. Precisamos achar a área da seção obtida por um plano paralelo à base a tfrac14h do vértice. Vamos usar a fórmula da área lateral, a relação entre b e h, semelhança de triângulos para o valor do corte, e semelhança de polígonos para a escala da seção.

Passo 2

A área lateral AL de uma pirâmide de base quadrada é dada por
AL = perímetro da basetimes l2 í
onde o perímetro é 4b e l é a apótema (ou altura inclinada). Assim,
AL = 4bcdot l2 = 2,b,l
Como AL=240, temos
2,b,l = 240 Longrightarrow b,l = 120
Além disso, o enunciado diz que
b = 32,h

Passo 3

A apótema l está ligada a b e h pelo teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo lateral:
l = raizl(tfracb2r)^2 + h^2
Substituindo b=tfrac32h nessa expressão:
l = raizl(tfrac1,5,h2r)^2 + h^2 = raizl(0,75,hr)^2 + h^2 = raiz1,5625,h^2 = 1,25,h

Passo 4

Agora volte à equação b,l=120. Substituindo b=1,5,h e l=1,25,h:
1,5,h times 1,25,h = 120 Longrightarrow 1,875,h^2 = 120 Longrightarrow h^2 = 1201,875 = 64 Longrightarrow h = 8 (m)
Logo b = 1,5times 8 = 12, m e l = 1,25times8 = 10, m.

Passo 5

Um plano a tfrac14h do vértice gera um quadrado semelhante à base, com razão de semelhança
lado da seçãolado da base = tfrac14,hh = 14 çã
Como o lado da base é b=12, m, o lado da seção é
s = 14times 12 = 3 (m)
A área desse quadrado é
s^2 = 3^2 = 9 (m^2)

Resposta

9, m^2

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