A área lateral de uma pirâmide regular de base quadrada é
. O comprimento do lado da base é
da altura. Conduz-se um plano paralelo ao plano da base; a seção está a
da altura, a partir do vértice. Qual a área da seção?
Passo 1
O enunciado fala de uma pirâmide regular de base quadrada com área lateral de
,
e cujo lado da base
é
da altura
. Precisamos achar a área da seção obtida por um plano paralelo à base a
do vértice. Vamos usar a fórmula da área lateral, a relação entre
e
, semelhança de triângulos para o valor do corte, e semelhança de polígonos para a escala da seção.
Passo 2
A área lateral
de uma pirâmide de base quadrada é dada por
onde o perímetro é
e
é a apótema (ou altura inclinada). Assim,
Como
, temos
Além disso, o enunciado diz que
Passo 3
A apótema
está ligada a
e
pelo teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo lateral:
Substituindo
nessa expressão:
Passo 4
Agora volte à equação
. Substituindo
e
:
Logo
,
e
,
.
Passo 5
Um plano a
do vértice gera um quadrado semelhante à base, com razão de semelhança
Como o lado da base é
,
, o lado da seção é
A área desse quadrado é