Determine o volume de um cone cuja superfície lateral é igual a 34 da superfície de um cone semelhante de altura 21 cm e raio da base 20 cm .

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cone C2 cuja área lateral é tfrac34 da área lateral de um cone C1 semelhante, em que C1 tem raio da base 20 cm e altura 21 cm. O conteúdo aqui é semelhança de sólidos: área lateral escala como o quadrado da razão linear e volume como o cubo.

Passo 2

Calculemos a área lateral de C1. A geratriz vale
s=raiz20^2+21^2=raiz400+441=raiz841=29
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SL1=picdot 20cdot29=580pi

Passo 3

Se k é a razão linear entre C2 e C1, então
área lateral de C2 = k^2,SL1 á
Pelo enunciado,
k^2,SL1=tfrac34,SL1 Longrightarrow k^2=tfrac34 Longrightarrow k=raiztfrac34=tfracraiz32

Passo 4

O volume de C1 é
V1=tfrac13,picdot20^2cdot21 =tfrac13picdot400cdot21 =2800pi
Como volume escala com k^3, o volume de C2 fica
V2=k^3,V1 =l(tfracraiz32r)^3cdot2800pi =tfrac3raiz38cdot2800pi =1050raiz3,pi

Resposta

O volume do cone procurado é 1050raiz3,pi cm ^3.

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