Determine o volume de um tronco de pirâmide regular, sabendo que as bases são quadrados de diagonais 4 raiz2 cm e 8 raiz2 cm, respectivamente, e que a aresta lateral forma com a diagonal da base maior um ângulo de 45^circ.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide regular (bases quadradas) cujas diagonais das bases medem 4raiz2,cm (base menor) e 8raiz2,cm (base maior), e em que cada aresta lateral forma um ângulo de 45^circ com a diagonal da base maior.
Conteúdo: geometria espacial de tronco de pirâmide e uso do produto escalar para achar a altura.

Passo 2

Calcular o lado de cada base a partir da diagonal. Se a diagonal de um quadrado vale de<a, então o lado é de<a/raiz2.
Para a base menor:
a1 = 4raiz2raiz2 = 4;cm
Para a base maior:
a2 = 8raiz2raiz2 = 8;cm
Como as duas bases são centradas e paralelas, o deslocamento horizontal entre vértices correspondentes é
d = raizl(tfraca2 - a12r)^2 + l(tfraca2 - a12r)^2 = a2 - a1raiz2 = 8 - 4raiz2 = 2raiz2;cm

Passo 3

Chamar de h a altura do tronco e de l o comprimento da aresta lateral. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado por d, h e l, temos
l^2 = d^2 + h^2
Para impor o ângulo de 45^circ entre a aresta lateral e a diagonal da base maior, usamos produto escalar. Se v é o vetor diagonal (módulo a2raiz2) e u é a aresta lateral (módulo l), a condição
cos45^circ = u!cdot!v|u||v|
leva a
a2 - a1raiz2,l = 1raiz2 Longrightarrow l = a2 - a1 = 4;cm
Substituindo em l^2 = d^2 + h^2:
4^2 = (2raiz2)^2 + h^2 Longrightarrow 16 = 8 + h^2 Longrightarrow h = 2raiz2;cm

Passo 4

Volume do tronco de pirâmide de altura h e áreas das bases A1 = a1^2 e A2 = a2^2 é
V = h3,l(A1 + A2 + raizA1,A2r)
Aqui A1 = 4^2 = 16 e A2 = 8^2 = 64, então
V = 2raiz23,l(16 + 64 + raiz16cdot64r) = 2raiz23,(16 + 64 + 32) = 2raiz23cdot112 = 224raiz23;cm^3

Resposta

224raiz23;cm^3

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