Determine o volume de um tronco de pirâmide regular, sabendo que as bases são quadrados de diagonais
e
, respectivamente, e que a aresta lateral forma com a diagonal da base maior um ângulo de
.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um tronco de pirâmide regular (bases quadradas) cujas diagonais das bases medem
(base menor) e
(base maior), e em que cada aresta lateral forma um ângulo de
com a diagonal da base maior.
Conteúdo: geometria espacial de tronco de pirâmide e uso do produto escalar para achar a altura.
Conteúdo: geometria espacial de tronco de pirâmide e uso do produto escalar para achar a altura.
Passo 2
Calcular o lado de cada base a partir da diagonal. Se a diagonal de um quadrado vale
, então o lado é
.
Para a base menor:
Para a base menor:
Para a base maior:
Como as duas bases são centradas e paralelas, o deslocamento horizontal entre vértices correspondentes é
Passo 3
Chamar de
a altura do tronco e de
o comprimento da aresta lateral. Pelo teorema de Pitágoras no triângulo formado por
,
e
, temos
Para impor o ângulo de
entre a aresta lateral e a diagonal da base maior, usamos produto escalar. Se
é o vetor diagonal (módulo
) e
é a aresta lateral (módulo
), a condição
leva a
Substituindo em
:
Passo 4
Volume do tronco de pirâmide de altura
e áreas das bases
e
é
Aqui
e
, então