A área de um paralelepípedo reto-retângulo é 720 cm^2. Determine seu volume, sabendo que a soma de suas dimensões vale 34 cm e que a diagonal de uma das faces vale 20 cm .

Solução

Sendo x, y e z as dimensões, temos:
S=720 Rightarrow xy+xz+yz=360
x+y+z=34
x^2+y^2=f1^2 Rightarrow x^2+y^2=400
De (2) vem:
(x+y+z)^2=34^2 Rightarrow underbracex^2+y^2400+z^2+2(underbracex y+x z+y z360)=1156.
Com (3) e (1), temos:
400+z^2+720=1156 Rightarrow z^2=36 Rightarrow z=6.
Substituindo z=6 em(2), ficamos com: x+y=28.
(x+y=28, x^2+y^2=400) Rightarrow x=16 e y=12 (ou x=12 e y=16 ).
Volume: V=x cdot y cdot z Rightarrow V=12 cdot 16 cdot 6 Rightarrow V=1152.
Resposta: O volume é 1152 cm^3.

Passo 1

O enunciado nos dá um paralelepípedo reto-retângulo cujas arestas medem x, y e z. Sabemos:
– A área total é 720,cm ^2,
– A soma das arestas é x+y+z=34,cm,
– A diagonal de uma face (a que tem lados x e y) vale 20,cm.
Para resolver, vamos usar as fórmulas de área total de um paralelepípedo, da soma das arestas e o Teorema de Pitágoras na face.

Passo 2

A área total A de um paralelepípedo reto-retângulo é
A = 2,(xy + xz + yz)
Como A=720, conclui-se que
xy + xz + yz = 7202 = 360

Passo 3

Temos também a soma das arestas:
x + y + z = 34,
e o Teorema de Pitágoras na face de lados x e y:
x^2 + y^2 = 20^2 = 400

Passo 4

Elevar ao quadrado a soma das arestas produz
(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2,(xy + xz + yz)
Como x+y+z=34, o lado esquerdo é 34^2 = 1156. Substituindo x^2+y^2=400 e xy+xz+yz=360, obtemos
1156 = 400 + z^2 + 2cdot360 = 400 + z^2 + 720

Passo 5

Dessa conta sai
400 + z^2 + 720 = 1156 Longrightarrow z^2 = 1156 - 1120 = 36 Longrightarrow z = 6,

Passo 6

Agora, da soma das arestas x+y+z=34 com z=6, vem
x + y = 34 - 6 = 28

Passo 7

Para achar xy, usamos (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy, ou seja,
28^2 = 400 + 2,xy Longrightarrow 784 = 400 + 2,xy Longrightarrow xy = 192

Passo 8

Finalmente, o volume é
V = x,y,z = (xy),z = 192 times 6 = 1152

Resposta

O volume do paralelepípedo é 1152,cm ^3.

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