A área de um triângulo é função de seu perímetro? Se for, qual é essa função?
Passo 1
O enunciado pergunta se a área
de um triângulo pode ser escrita apenas em função do seu perímetro
, e, em caso afirmativo, qual é essa função. Para abordar isso vamos usar a fórmula de Heron (que dá a área em função dos três lados) e depois ver sob que condição ela depende unicamente de
.
Passo 2
Sejam
,
e
os comprimentos dos lados do triângulo, e
o semiperímetro. A fórmula de Heron afirma que
Aqui
é função de
e de
, ou seja, para triângulos diferentes (mesmo perímetro) o valor de
varia, mudando
.
Passo 3
Como existem infinitos triângulos com mesmo
mas formatos (e, portanto, áreas) diferentes, concluímos que em geral
não é função somente de
. Para definir
em função apenas de
seria preciso travar a forma do triângulo.
Passo 4
No caso particular do triângulo equilátero temos
. Substituindo na fórmula de Heron:
então
Resposta
Não há função única
que sirva para todos os triângulos, pois a área também depende da distribuição dos lados. A forma mais geral é a fórmula de Heron:
Entretanto, se o triângulo for equilátero, então a área em função apenas do perímetro é