A área de um triângulo é função de seu perímetro? Se for, qual é essa função?

Passo 1

O enunciado pergunta se a área A de um triângulo pode ser escrita apenas em função do seu perímetro P, e, em caso afirmativo, qual é essa função. Para abordar isso vamos usar a fórmula de Heron (que dá a área em função dos três lados) e depois ver sob que condição ela depende unicamente de P.

Passo 2

Sejam a, b e c os comprimentos dos lados do triângulo, e
s = P2
o semiperímetro. A fórmula de Heron afirma que
A = raizs,(s - a),(s - b),(s - c)
Aqui A é função de P e de a,b,c, ou seja, para triângulos diferentes (mesmo perímetro) o valor de (s-a)(s-b)(s-c) varia, mudando A.

Passo 3

Como existem infinitos triângulos com mesmo P mas formatos (e, portanto, áreas) diferentes, concluímos que em geral A não é função somente de P. Para definir A em função apenas de P seria preciso travar a forma do triângulo.

Passo 4

No caso particular do triângulo equilátero temos a=b=c = P/3. Substituindo na fórmula de Heron:
s = P2, s - a = P2 - P3 = P6,
então
A = raizP2,l(P6r)^3 = raizP2,P^3216 = raizP^4432 = P^2raiz432 = P^212raiz3

Resposta

Não há função única A = f(P) que sirva para todos os triângulos, pois a área também depende da distribuição dos lados. A forma mais geral é a fórmula de Heron:
A = raizs,(s - a),(s - b),(s - c), s = P2
Entretanto, se o triângulo for equilátero, então a área em função apenas do perímetro é
A(P) = P^212raiz3

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