A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 3 m . Calcule a altura e o volume dessa pirâmide, sendo a superfície lateral 10 vezes a área da base.
Passo 1
O enunciado trata de uma pirâmide de base hexagonal regular de aresta
m, em que a área lateral é
vezes a área da base. Queremos encontrar a altura
da pirâmide e o seu volume
. Para isso precisaremos dos seguintes ingredientes:
– Área da base de um hexágono regular.
– Fórmula da área lateral de pirâmide em função da aresta da base e da aresta lateral (altura da face triangular).
– Relação entre aresta lateral (slant height), apótema da base e altura da pirâmide via Teorema de Pitágoras.
– Fórmula de volume de pirâmide.
– Área da base de um hexágono regular.
– Fórmula da área lateral de pirâmide em função da aresta da base e da aresta lateral (altura da face triangular).
– Relação entre aresta lateral (slant height), apótema da base e altura da pirâmide via Teorema de Pitágoras.
– Fórmula de volume de pirâmide.
Passo 2
Calculamos a área da base
e o perímetro
do hexágono regular de lado
.
A área de um hexágono regular é
A área de um hexágono regular é
Logo, para
m,
O perímetro da base é
Passo 3
A área lateral
de uma pirâmide de base poligonal regular mede
onde
é a aresta lateral (slant height). Como o enunciado diz que
, temos
Passo 4
Substituindo
e
em
, vem
Passo 5
O apótema da base (distância do centro ao meio de um lado) de um hexágono regular de lado
é
Logo
Passo 6
Para achar a altura
usamos Pitágoras no triângulo que tem catetos
e
, e hipotenusa
:
Passo 7
Finalmente, o volume
da pirâmide é
Resposta
Altura:
m
Volume:
Volume: