A aresta da base de uma pirâmide regular hexagonal mede 3 m . Calcule a altura e o volume dessa pirâmide, sendo a superfície lateral 10 vezes a área da base.

Passo 1

O enunciado trata de uma pirâmide de base hexagonal regular de aresta a=3 m, em que a área lateral é 10 vezes a área da base. Queremos encontrar a altura h da pirâmide e o seu volume V. Para isso precisaremos dos seguintes ingredientes:
– Área da base de um hexágono regular.
– Fórmula da área lateral de pirâmide em função da aresta da base e da aresta lateral (altura da face triangular).
– Relação entre aresta lateral (slant height), apótema da base e altura da pirâmide via Teorema de Pitágoras.
– Fórmula de volume de pirâmide.

Passo 2

Calculamos a área da base Ab e o perímetro P do hexágono regular de lado a.
A área de um hexágono regular é
Ab = 3raiz32,a^2
Logo, para a=3 m,
Ab = 3raiz32cdot 3^2 = 27raiz32;m^2
O perímetro da base é
P = 6a = 6cdot3 = 18;m

Passo 3

A área lateral Al de uma pirâmide de base poligonal regular mede
Al = tfrac12,P,ell
onde ell é a aresta lateral (slant height). Como o enunciado diz que Al = 10,Ab, temos
tfrac12;P,ell = 10,Ab

Passo 4

Substituindo P=18 e Ab=tfrac27raiz32 em tfrac12cdot18cdotell =10cdottfrac27raiz32, vem
9,ell = 10;27raiz32 Longrightarrow ell = 10cdot27raiz32cdot9 =15raiz3;m

Passo 5

O apótema da base (distância do centro ao meio de um lado) de um hexágono regular de lado a é
r = araiz32
Logo
r = 3raiz32;m

Passo 6

Para achar a altura h usamos Pitágoras no triângulo que tem catetos h e r, e hipotenusa ell:
ell^2 = h^2 + r^2 ;Longrightarrow; h = raizell^2 - r^2 = raizl(15raiz3r)^2 - l(tfrac3raiz32r)^2 = 9raiz332;m

Passo 7

Finalmente, o volume V da pirâmide é
V = 13,Ab,h = 13;27raiz32;9raiz332 = 243raiz9912 = 243raiz114;m^3

Resposta

Altura: h = 9raiz332 m
Volume: V = 243raiz114 m^3

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