A aresta da base de um prisma hexagonal regular mede 8 cm . Em quanto se deve diminuir a altura desse prisma de modo que se tenha um novo prisma com área total igual à área lateral do prisma dado?

Passo 1

O enunciado tem um prisma reto cuja base é um hexágono regular de aresta a=8 cm e altura H. Queremos diminuir essa altura em x de modo que o novo prisma (altura H - x) tenha área total igual à área lateral do prisma dado. Vamos usar as fórmulas de área lateral e área total de prismas retos e a área de um hexágono regular.

Passo 2

A área lateral do prisma original é dada por
Pbase = 6a = 6cdot 8 = 48,
logo
ALorig = Pbasetimes H = 48H

Passo 3

A área de uma base (hexágono regular de aresta a) vale
Abase = 3raiz32,a^2
Com a=8:
Abase = 3raiz32cdot 8^2 = 96raiz3
Então a área total do novo prisma (altura H - x) é
ATnovo = ALnovo + 2Abase = Pbase,(H - x) + 2cdot 96raiz3 = 48(H - x) + 192raiz3

Passo 4

Impondo ATnovo = ALorig, temos
48(H - x) + 192raiz3 = 48H ;Longrightarrow; -48x + 192raiz3 = 0 ;Longrightarrow; x = 192raiz348 = 4raiz3

Resposta

4raiz3 cm

Exercícios de Livros Relacionados