A aresta lateral PA de uma pirâmide mede 12 m . Que comprimento devemos tomar sobre essa aresta, a partir do vértice, para que um plano paralelo à base divida a pirâmide em dois sólidos cujos volumes são proporcionais a 3 e 4 ?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma pirâmide cujo vértice é P e um ponto A da base, e que a aresta lateral PA mede 12 m. Queremos escolher um ponto M sobre PA, a uma distância x=PM do vértice P, de modo que o plano passando por M e paralelo à base divida a pirâmide em dois sólidos cujos volumes sejam proporcionais a 3 e 4.

Passo 2

O sólido acima do plano é uma pirâmide semelhante à original, com razão linear
k = PMPA = x12
Pela propriedade de semelhança de sólidos, o volume dessa pirâmide menor é
Vtopo = k^3,Vtotal
O volume do sólido inferior (o tronco de pirâmide) é
Vbase = Vtotal - Vtopo = l(1 - k^3r),Vtotal

Passo 3

Queremos que
VtopoVbase = 34
Substituindo Vtopo=k^3Vtotal e Vbase=(1-k^3)Vtotal, vem
k^31 - k^3 = 34

Passo 4

Resolvendo
4,k^3 = 3l(1 - k^3r) Longrightarrow 4k^3 = 3 - 3k^3 Longrightarrow 7k^3 = 3 Longrightarrow k^3 = 37 Longrightarrow k = raiz[3]37

Passo 5

Logo a distância procurada é
x = PM = k cdot 12 = 12 ,raiz[3]37 m

Resposta

12,raiz[3]37 m

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