Duas pirâmides têm alturas iguais a 14 m cada uma. A primeira tem por base um quadrado de lado 9 m e a segunda um hexágono de 7 m de lado. Um plano secciona as duas pirâmides a 6 m do vértice. Obtenha a relação entre as áreas das seções determinadas na primeira e na segunda pirâmide.

Passo 1

O enunciado diz que temos duas pirâmides com altura h=14,m, uma com base quadrada de lado 9,m e outra com base hexagonal regular de lado 7,m. Um plano paralelo às bases corta ambas a uma distância de 6,m do vértice. Vamos usar semelhança de sólidos: a área da seção escala como o quadrado da razão linear entre segmentos homólogos.

Passo 2

A distância do vértice até o plano é y=6,m, e a altura total é h=14,m. Portanto o fator de semelhança linear é
s = yh = 614 = 37

Passo 3

Área da base quadrada:
A0,q = 9^2 = 81
Logo a área da seção na primeira pirâmide é
A1 = A0,q,s^2 = 81cdotl(37r)^2 = 81cdot949 = 72949

Passo 4

Área da base do hexágono regular: cada triângulo equilátero de lado 7 tem área tfracraiz34cdot7^2, e são 6 triângulos, logo
A0,h = 6cdotraiz34cdot49 = 147raiz32
A área da seção na segunda pirâmide é
A2 = A0,h,s^2 = 147raiz32cdot949 = 27raiz32

Passo 5

A razão entre as áreas das seções é
A1A2 = tfrac72949tfrac27raiz32 = 72949cdot227raiz3 = 5449raiz3 = 18raiz349

Resposta

A1A2 = 18raiz349

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