(Argentina-98) Determinar todos os valores possíveis da expressão
ao variar x nos números reais.
Passo 1
O enunciado pede determinar o conjunto-imagem da função
para todo
. O conteúdo envolve propriedades de piso (
) e periodicidade.
Passo 2
Mostramos que
é periódico de período
. De fato,
Como
,
e
, segue que
.
Logo basta estudar em um intervalo de comprimento
, por exemplo
.
Logo basta estudar
Passo 3
Para
escrevemos
(já que o quociente inteiro
é zero). Então
e
Chamemos
para
.
Passo 4
Dividimos
em subintervalos onde
e
são constantes: os pontos críticos são
.
Passo 5
Em
:
,
, logo
que varia em
.
Passo 6
Em
:
,
, logo
que varia em
.
Passo 7
Em
:
,
, logo
que varia em
.
Passo 8
Em
:
,
, logo
que varia em
.
Passo 9
A união das imagens parciais
,
,
e
é