(Argentina-98) Determinar todos os valores possíveis da expressão x-[x / 2]-[x / 3]-[x / 6] ao variar x nos números reais.

Passo 1

O enunciado pede determinar o conjunto-imagem da função
f(x)=x-lfloor x/2rfloor-lfloor x/3rfloor-lfloor x/6rfloor
para todo xinR. O conteúdo envolve propriedades de piso ( lfloorcdotrfloor) e periodicidade.

Passo 2

Mostramos que f é periódico de período 6. De fato,
f(x+6)=(x+6)-lfloor(x+6)/2rfloor-lfloor(x+6)/3rfloor-lfloor(x+6)/6rfloor
Como
lfloor(x+6)/2rfloor=lfloor x/2rfloor+3,
lfloor(x+6)/3rfloor=lfloor x/3rfloor+2 e
lfloor(x+6)/6rfloor=lfloor x/6rfloor+1, segue que f(x+6)=f(x).
Logo basta estudar f em um intervalo de comprimento 6, por exemplo xin[0,6).

Passo 3

Para xin[0,6) escrevemos x=r (já que o quociente inteiro q é zero). Então
lfloor x/2rfloor=lfloor r/2rfloor, lfloor x/3rfloor=lfloor r/3rfloor, lfloor x/6rfloor=0,
e
f(x)=r-lfloor r/2rfloor-lfloor r/3rfloor
Chamemos g(r)=r-lfloor r/2rfloor-lfloor r/3rfloor para rin[0,6).

Passo 4

Dividimos [0,6) em subintervalos onde lfloor r/2rfloor e lfloor r/3rfloor são constantes: os pontos críticos são r=2,3,4.

Passo 5

Em rin[0,2):
lfloor r/2rfloor=0, lfloor r/3rfloor=0, logo
g(r)=r,
que varia em [0,2).

Passo 6

Em rin[2,3):
lfloor r/2rfloor=1, lfloor r/3rfloor=0, logo
g(r)=r-1,
que varia em [1,2).

Passo 7

Em rin[3,4):
lfloor r/2rfloor=1, lfloor r/3rfloor=1, logo
g(r)=r-2,
que varia em [1,2).

Passo 8

Em rin[4,6):
lfloor r/2rfloor=2, lfloor r/3rfloor=1, logo
g(r)=r-3,
que varia em [1,3).

Passo 9

A união das imagens parciais
[0,2), [1,2), [1,2) e [1,3) é
[0,3)

Resposta

[0,3)

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