Os argumentos principais das soluções da equação em , iz , pertencem a:
a)
b)
c)
e) )

Passo 1

O enunciado pede os argumentos principais das raízes de
i,z ;+;3,z;+;(z+z)^2;-;i;=;0
Aqui o conteúdo é manipular números complexos, separar em parte real e imaginária e resolver em (x,y) com z=x+iy.

Passo 2

Escrevendo z=x+iy e z=x-iy, temos
i,z = i(x+iy)= -y + i,x, 3,z=3x -3i,y, z+z=2x
e portanto
(z+z)^2 =4x^2
Somando tudo e isolando real e imaginário:
(-y+3x+4x^2) ;+; i,(x-3y-1);=;0
Isso gera o sistema
4x^2 +3x -y =0, x -3y -1 =0

Passo 3

Da segunda equação vem y=tfracx-13. Substituindo na primeira:
4x^2 +3x -x-13=0 ;Longrightarrow; 12x^2+8x+1=0

Passo 4

Resolvendo 12x^2+8x+1=0 pelo De<a=8^2-4cdot12cdot1=16,
x=-8pm424 ;Longrightarrow; x1=-tfrac16, x2=-tfrac12

Passo 5

Para x1=-tfrac16,
y1=4x1^2+3x1 =436-36 =19-12 =-718
Para x2=-tfrac12,
y2=4x2^2+3x2 =1-32 =-12
Logo as raízes são
z1=-tfrac16-i,tfrac718, z2=-tfrac12-i,tfrac12

Passo 6

Ambas têm x<0 e y<0, ficam no 3º quadrante. Calculando
arg(z1)=pi+arctan!l(tfrac7/181/6r) =pi+arctan!l(tfrac73r)approx4,31,
arg(z2)=pi+arctan(1)=pi+tfracpi4=tfrac5pi4approx3,93
Ambos satisfazem
arg(z)inl[tfrac5pi4,,tfrac3pi2r[

Resposta

c) [5pi4,3pi2[

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