(UF-PR) Considere o polinômio p(x)=x^3-a x^2+x-a e analise as seguintes afirmativas:
  1. i=raiz-1 é uma raiz desse polinômio.
  2. Qualquer que seja o valor de a, p(x) é divisível por x-a.
  3. Para que p(-2)=-10, o valor de a deve ser 0 .
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^3-a x^2+x-a
e pede para analisar as afirmativas:
  1. i=raiz-1 é raiz de p(x).
  2. Para todo a, p(x) é divisível por x-a.
  3. Para que p(-2)=-10, o valor de a deve ser 0.

Passo 2

Verificamos a afirmativa 1 calculando
p(i)=i^3-a,i^2+i-a
Como i^3=-i e i^2=-1,
p(i)=-i - a(-1) + i - a = -i + a + i - a =0
Logo, i é raiz de p(x) para qualquer a. Afirmativa 1 é verdadeira.

Passo 3

Verificamos a afirmativa 2 usando o teste da raiz:
p(a)=a^3-acdot a^2+a-a = a^3-a^3+a-a =0
Como p(a)=0, x-a divide p(x) para todo a. Afirmativa 2 é verdadeira.

Passo 4

Verificamos a afirmativa 3 calculando p(-2):
p(-2)=(-2)^3-a(-2)^2+(-2)-a = -8 -4a -2 -a = -10 -5a
Para p(-2)=-10 precisamos de
-10-5a=-10 Longrightarrow -5a=0 Longrightarrow a=0
Afirmativa 3 é verdadeira.

Passo 5

Concluímos que todas as três afirmativas (1, 2 e 3) são verdadeiras, mas não há opção “todas as anteriores” no enunciado.

Resposta

Não há alternativa correta entre as apresentadas, pois as afirmativas 1, 2 e 3 são todas verdadeiras.

Exercícios de Livros Relacionados