Assim que um praticante de bungee jump salta de uma ponte, seu corpo oscila rapidamente para cima e para baixo. Essa oscilação, que depende do peso do saltador e da elasticidade da corda, dentre outros fatores, vai sendo atenuada ao longo do tempo. Para uma certa praticante desse esporte, a função que descreve sua altura (medida em metros acima do rio) em relação ao tempo (em segundos) é h(t)=35+30 e^-0,0625 t cos (0,9 t).
a) Encontre a altura da intrépida jovem nos instantes t=0,3,7,10,14,17,50.
b) Usando um programa de computador, trace o gráfico de h(t) para t entre 0 e 50 segundos.

Passo 1

O enunciado dá a altura da saltadora em função do tempo por
h(t)=35 + 30,e^-0,0625,tcos(0,9,t),
e pede em (a) que a gente calcule h(t) nos instantes t=0,3,7,10,14,17,50 e em (b) que trace o gráfico de h(t) para 0<= t<=50. Vamos usar substituição direta e uma ferramenta de cálculo (calculadora ou programa) para as aproximacões, e depois um script (por exemplo em Python) para gerar o gráfico.

Passo 2

Para cada valor de t calculamos
1. e^-0,0625,t,
2. cos(0,9,t),
3. e substituímos na expressão
h(t)=35 + 30,e^-0,0625,tcos(0,9,t)
Com uma calculadora científica ou software, obtemos os valores numéricos aproximados.

Passo 3

Aplicando para os instantes pedidos, obtemos os seguintes valores aproximados:
t (s) h(t) (m)
0 65,0
3 12,6
7 54,4
10 20,4
14 47,5
17 25,5
50 35,7

Passo 4

Para traçar o gráfico de em , podemos usar, por exemplo, Python com Matplotlib:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

t \(=\) np.linspace(\(0,50\),\(500\))
h \(=35+30\)*np.exp(-\(0.0625\)*t)*np.cos(\(0.9\)*t)

plt.plot(t,h)
plt.xlabel('t (s)')
plt.ylabel('h(t) (m)')
plt.title('Oscilação amortecida no bungee jump')
plt.grid(True)
plt.show()
Esse código gera uma curva de oscilação amortecida em torno de m, com amplitude decrescente ao longo do tempo.

Resposta

a)
h(0)=65,0,m
h(3)approx12,6,m
h(7)approx54,4,m
h(10)approx20,4,m
h(14)approx47,5,m
h(17)approx25,5,m
h(50)approx35,7,m
b) Gráfico obtido pelo código acima, mostrando uma oscilação amortecida que decai em torno de 35 m ao longo dos 50 s.

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