(Auckland-98) Determine todos os números primos p tais que o número p^2+11 possui exatamente 6 divisores positivos (incluindo 1 e o próprio número).

Passo 1

O enunciado pede: “determinar todos os primos p tais que o inteiro
N = p^2 + 11
tenha exatamente 6 divisores positivos.”
Conteúdo: função divisor tau(N)=6 e fatoração de inteiros. Para tau(N)=6 só há duas possibilidades de fatoração em primos:
  1. N = q^5 (um primo à quinta potência), ou
  2. N = q^2 cdot r com qneq r primos.

Passo 2

Analisamos o caso N=q^5. Isso exigiria
p^2 + 11 = q^5
Para primos pequenos q temos:
;2^5=32implies p^2=21 (não quadrado),
;3^5=243implies p^2=232 (não quadrado),
;5^5=3125implies p^2=3114, etc.
Nenhum dá p^2 perfeito. Logo não há soluções neste caso.

Passo 3

Passamos ao caso
p^2 + 11 = q^2,r,
com q,r primos distintos. Aqui tau(N)=(2+1),(1+1)=6.
Em particular, para cada primo p testamos N=p^2+11 e contamos divisores:
  • p=2implies N=4+11=15=3cdot5, tau=4.
  • p=3implies N=9+11=20=2^2cdot5, tau=(2+1)(1+1)=6.
  • p=5implies36=2^2cdot3^2, tau=9.
  • p=7implies60=2^2cdot3cdot5, tau=12.
  • p=11implies132=2^2cdot3cdot11, tau=12.
  • Continuando para p=13,17,19,dots obtemos tau>6 ou tau<6.
O único valor que dá exatamente 6 divisores é p=3.

Resposta

3

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