(Rio Grande do Norte-95) O número de todos os pares de inteiros positivos (a, b) com a+b <= 100 que satisfazem a+1b1a+b=13 é :

Passo 1

O enunciado pede para contar todos os pares de inteiros positivos (a,b) tais que a+b<=100 e
a+1b1a+b=13
O conteúdo aqui é manipulação algébrica de frações e contagem de soluções inteiras.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão. Note que
a+1b = ab+1b, 1a+b = 1+aba
Logo,
a+tfrac1btfrac1a+b = ab+1b1+aba = (ab+1),ab,(1+ab) = ab

Passo 3

A condição a+1b1a+b=13 vira então
ab=13,
ou seja
a=13b

Passo 4

Ainda precisamos satisfazer a+b<=100. Substituindo a=13b,
13b + b <= 100 Longrightarrow 14b <= 100 Longrightarrow b <= 7
Como b deve ser inteiro positivo, bin1,2,dots,7.

Passo 5

Para cada b=1,2,dots,7 temos a=13b inteiro e a soma a+b<=100. Logo há exatamente 7 pares (a,b).

Resposta

7

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