(OBM-2003) Considere o produto de todos os divisores positivos de um número inteiro positivo, diferentes desse número. Dizemos que o número é poderoso se o produto desses divisores for igual ao quadrado do número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois seus divisores positivos menores do que ele são 1,2,3,4 e 6 e 1.2.3.4.6 = 144=12^2. Apresente todos os números poderosos menores do que 100.

Passo 1

O enunciado pede para achar todos os inteiros positivos n<100 tais que o produto dos divisores positivos de n, excluindo n propriamente dito, seja igual a n^2. Vamos usar teoria de divisores e a fórmula do produto de todos os divisores de um número para resolver.

Passo 2

Recordamos que, se é o número de divisores de , então
Como queremos o produto dos divisores próprios de , denotado , basta dividir esse resultado por :
Impondo obtemos

Passo 3

Logo, os números procurados são exatamente aqueles que têm tau(n)=6. A teoria dos divisores diz que tau(n)=6 ocorre somente se a fatoração de n é de um destes dois tipos:
  1. n=p^5, com p primo, pois então tau(n)=5+1=6.
  2. n=p^2q, com p e q primos distintos, pois então tau(n)=(2+1)(1+1)=6.

Passo 4

Caso n=p^5<100: o único primo que satisfaz é p=2, pois 2^5=32<100 e 3^5=243>100. Portanto, surge n=32.

Passo 5

Caso n=p^2q<100: para cada primo p tal que p^2<100, escolhemos qneq p primo com p^2q<100.
Para p=2: 4q<100 qin3,5,7,11,13,17,19,23, gerando
;12,20,28,44,52,68,76,92.
Para p=3: 9q<100 qin2,5,7,11, gerando
;18,45,63,99.
Para p=5: 25q<100 qin2,3, gerando
;50,75.
Para p=7: 49q<100 q=2, gerando
;98.

Passo 6

Reunindo os casos em ordem crescente, os n<100 com tau(n)=6 (e, portanto, poderosos) são:
12,,18,,20,,28,,32,,44,,45,,50,,52,,63,,68,,75,,76,,92,,98,,99

Resposta

12,,18,,20,,28,,32,,44,,45,,50,,52,,63,,68,,75,,76,,92,,98,,99

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