(OBM-2003) Considere o produto de todos os divisores positivos de um número inteiro positivo, diferentes desse número. Dizemos que o número é poderoso se o produto desses divisores for igual ao quadrado do número. Por exemplo, o número 12 é poderoso, pois seus divisores positivos menores do que ele são
e 6 e 1.2.3.4.6
. Apresente todos os números poderosos menores do que 100.
Passo 1
O enunciado pede para achar todos os inteiros positivos
tais que o produto dos divisores positivos de
, excluindo
propriamente dito, seja igual a
. Vamos usar teoria de divisores e a fórmula do produto de todos os divisores de um número para resolver.
Passo 2
Recordamos que, se
é o número de divisores de
, então
Como queremos o produto dos divisores próprios de
, denotado
, basta dividir esse resultado por
:
Impondo
obtemos
Passo 3
Logo, os números procurados são exatamente aqueles que têm
. A teoria dos divisores diz que
ocorre somente se a fatoração de
é de um destes dois tipos:
-
, com primo, pois então . -
, com e primos distintos, pois então .
Passo 4
Caso
: o único primo que satisfaz é
, pois
e
. Portanto, surge
.
Passo 5
Caso
: para cada primo
tal que
, escolhemos
primo com
.
Para :
dá
, gerando
.
Para :
dá
, gerando
.
Para :
dá
, gerando
.
Para :
dá
, gerando
.
Para
Para
Para
Para
Passo 6
Reunindo os casos em ordem crescente, os
com
(e, portanto, poderosos) são: