15.12.1 Derive a integral de Bromwich pela fórmula integral de Cauchy.
Sugestão: Aplique a transformada inversa
a
em que
é analítica para
.
Passo 1
O enunciado pede para obter a fórmula de Bromwich
a partir da fórmula integral de Cauchy aplicada a
sabendo que
é analítica para
. Vamos usar também que
.
Passo 2
Escrevemos
que é justamente a expressão dada pela integral de Cauchy, onde o polo em
fica à esquerda da reta
.
Passo 3
Aplicamos agora a transformada inversa de Laplace em ambos os lados:
Passo 4
Como
e o limite são constantes em
, e sob condições de convergência podemos trocar a ordem de inversão e integração, vem
Passo 5
Usamos a propriedade conhecida
válida sempre que
, o que ocorre se tomarmos a reta de inversão em
.
Passo 6
Substituindo em cima e removendo o limite ao longo de
, obtemos a fórmula de Bromwich: