15.12.1 Derive a integral de Bromwich pela fórmula integral de Cauchy.
Sugestão: Aplique a transformada inversa L^-1 a
f(s)=12 pi i lim alpha infty integralgamma-i alpha^gamma+i alpha f(z)s-z d z,
em que f(z) é analítica para Re(z) >= gamma.

Passo 1

O enunciado pede para obter a fórmula de Bromwich
f(t);=;L^-1F(s)(t) ;=;12pi iintegralgamma - iinfty^gamma + iinftyF(s),e^st,ds
a partir da fórmula integral de Cauchy aplicada a
F(s) = 12pi ilimalphatoinfty integralgamma - ialpha^gamma + ialphaF(z),s - z,,dz,
sabendo que F(z) é analítica para Re(z)>=gamma. Vamos usar também que
L^-1(s - z)^-1(t)=e^zt.

Passo 2

Escrevemos
F(s) = 12pi ilimalphatoinfty integralgamma - ialpha^gamma + ialphaF(z)s - z,dz
que é justamente a expressão dada pela integral de Cauchy, onde o polo em z=s fica à esquerda da reta Re(z)=gamma.

Passo 3

Aplicamos agora a transformada inversa de Laplace em ambos os lados:
L^-1F(s)(t) = L^-1gl12pi ilimalphatoinfty integralgamma - ialpha^gamma + ialphaF(z)s - z,dzgr

Passo 4

Como tfrac12pi i e o limite são constantes em s, e sob condições de convergência podemos trocar a ordem de inversão e integração, vem
f(t) = 12pi ilimalphatoinfty integralgamma - ialpha^gamma + ialpha F(z),L^-1ltfrac1s - zr(t),dz

Passo 5

Usamos a propriedade conhecida
L^-1ltfrac1s - zr(t) = e^zt,
válida sempre que Re(s)>Re(z), o que ocorre se tomarmos a reta de inversão em Re(s)=gamma>Re(z).

Passo 6

Substituindo em cima e removendo o limite ao longo de alphatoinfty, obtemos a fórmula de Bromwich:
f(t) = 12pi i integralgamma - iinfty^gamma + iinfty F(z),e^zt,dz

Resposta

boxed f(t) = L^-1F(s)(t) = 12pi i integralgamma - iinfty^gamma + iinfty F(s),e^st,ds

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