15.12.3 Derive o teorema da convolução da transformação de Laplace usando a integral de Bromwich.

Passo 1

O enunciado pede para derivar o teorema da convolução da transformada de Laplace, ou seja, provar que
L(f*g)(t)(s)=F(s),G(s),
onde
(f*g)(t)=integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau,
e F(s)=Lf(t), G(s)=Lg(t). Vamos usar a fórmula de Bromwich para a transformada inversa.

Passo 2

Recordando a fórmula de Bromwich, para qualquer função transformável H(s) temos
h(t)=L^-1H(s)(t) =12pi iintegralsigma-iinfty^sigma+iinftyH(s),e^s,t,ds,
onde sigma está à direita de todos os polos de H(s). Em particular, se H(s)=F(s),G(s), então
L^-1F(s),G(s)(t) =12pi iintegralsigma-iinfty^sigma+iinftyF(s),G(s),e^s,t,ds

Passo 3

Expressamos F(s) e G(s) em suas integrais de definição:
F(s)=integral0^inftyf(tau),e^-s,tau,dtau, G(s)=integral0^inftyg(u),e^-s,u,du
Portanto o produto é
F(s),G(s) =integral0^infty!!integral0^infty f(tau),g(u),e^-s(tau+u),dtau,du

Passo 4

Substituindo no Bromwich de F(s),G(s):
L^-1F(s)G(s)(t) =12pi i integralsigma-iinfty^sigma+iinfty l[integral0^infty!!integral0^infty f(tau),g(u),e^-s(tau+u),dtau,dur] e^s,t,ds

Passo 5

Justificamos trocar a ordem das integrais (teorema de Fubini) e isolamos o trecho que depende de s:
12pi i integral0^infty!!integral0^infty f(tau),g(u) l[integralsigma-iinfty^sigma+iinfty e^s,(t-(tau+u))dsr],dtau,du
Mas a integral de Bromwich
12pi i integralsigma-iinfty^sigma+iinfty e^s,(t-(tau+u))ds
é a representação da distribuição de<a(t-(tau+u)).

Passo 6

Usando a propriedade de sifting do de<a, obtemos
integral0^infty!!integral0^infty f(tau),g(u),de<al(t-(tau+u)r),dtau,du =integral0^tf(tau),g(t-tau),dtau =(f*g)(t)
Logo
L^-1F(s),G(s)(t)=(f*g)(t)

Passo 7

Pela unicidade da transformada de Laplace, concluímos que
L(f*g)(t)(s)=F(s),G(s)

Resposta

boxedLlintegral0^tf(tau),g(t-tau),dtaur(s) =F(s),G(s)

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