15.12.3 Derive o teorema da convolução da transformação de Laplace usando a integral de Bromwich.
Passo 1
O enunciado pede para derivar o teorema da convolução da transformada de Laplace, ou seja, provar que
onde
e
,
. Vamos usar a fórmula de Bromwich para a transformada inversa.
Passo 2
Recordando a fórmula de Bromwich, para qualquer função transformável
temos
onde
está à direita de todos os polos de
. Em particular, se
, então
Passo 3
Expressamos
e
em suas integrais de definição:
Portanto o produto é
Passo 4
Substituindo no Bromwich de
:
Passo 5
Justificamos trocar a ordem das integrais (teorema de Fubini) e isolamos o trecho que depende de
:
Mas a integral de Bromwich
é a representação da distribuição
.
Passo 6
Usando a propriedade de sifting do
, obtemos
Logo
Passo 7
Pela unicidade da transformada de Laplace, concluímos que