Avalie os seguintes determinantes:
(b) \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1\end{array}\right|,

Passo 1

Temos que calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 3 & 1 & 2\\\\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix}
O conteúdo principal aqui é o cálculo de determinante de 3\times3, que podemos fazer por expansão de Laplace (cofatores) ou pela regra de Sarrus.

Passo 2

Vamos usar expansão de Laplace ao longo da primeira linha. A fórmula geral é
\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13},
onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} é o cofator e M_{ij} é o determinante do menor 2\times2 obtido ao riscar a linha i e a coluna j.

Passo 3

Calculamos cada cofator:
M_{11} = \begin{vmatrix}1 & 2\\\\ 3 & 1\end{vmatrix} = 1\cdot1 - 2\cdot3 = 1 - 6 = -5, \quad C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = (-1)^{2}(-5) = -5.
M_{12} = \begin{vmatrix}3 & 2\\\\ 0 & 1\end{vmatrix} = 3\cdot1 - 2\cdot0 = 3, \quad C_{12} = (-1)^{1+2}M_{12} = -\,3.
M_{13} = \begin{vmatrix}3 & 1\\\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 3\cdot3 - 1\cdot0 = 9, \quad C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = (+)\,9.

Passo 4

Substituindo na expansão:
\det A = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} = 1\cdot(-5) + 2\cdot(-3) + 0\cdot9 = -5 - 6 + 0 = -11.

Resposta

-11

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