Um determinante com todos os elementos de ordem unitária pode ser surpreendentemente pequeno. O determinante de Hilbert H_{i j}=(i+j-1)^{-1}, i, j=1,2, ldots, n é notório por seus valores pequenos.
(a) Calcule o valor dos determinantes de Hilbert de ordem n para n=1, 2 e 3 .

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz de Hilbert de ordem n, onde
H_{ij}=\frac{1}{i+j-1},\quad i,j=1,2,\dots,n.
O que precisamos: aplicar a definição de determinante para 1\times1, a regra simples para 2\times2 e a expansão por cofatores (Laplace) para 3\times3.

Passo 2

Para n=1 a matriz de Hilbert é
H_{1}=\bigl(1/(1+1-1)\bigr)=(1),
então
\det(H_{1})=1.

Passo 3

Para n=2 temos
H_{2}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac12\\\ \tfrac12 & \tfrac13 \end{pmatrix}.
Pela fórmula do determinante de uma matriz 2\times2,
\det(H_{2}) =1\cdot\tfrac13-\bigl(\tfrac12\bigr)^{2} =\tfrac13-\tfrac14 =\tfrac{1}{12}.

Passo 4

Para n=3 a matriz é
H_{3}=\begin{pmatrix} 1 & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3}\\\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5} \end{pmatrix}.
Usando expansão por cofatores na primeira linha:
\det(H_{3}) =1\cdot\begin{vmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\[3pt]\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5}\end{vmatrix} -\tfrac{1}{2}\cdot\begin{vmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4}\\[3pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{5}\end{vmatrix} +\tfrac{1}{3}\cdot\begin{vmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\end{vmatrix}.
Cada 2\times2 é
\begin{vmatrix}\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\\[3pt]\tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{5}\end{vmatrix} =\tfrac{1}{15}-\tfrac{1}{16}=\tfrac{1}{240},\quad \begin{vmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4}\\[3pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{5}\end{vmatrix} =\tfrac{1}{10}-\tfrac{1}{12}=\tfrac{1}{60},
\begin{vmatrix}\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{3}\\[3pt]\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{4}\end{vmatrix} =\tfrac{1}{8}-\tfrac{1}{9}=\tfrac{1}{72}.
Substituindo,
\det(H_{3}) =\;1\cdot\tfrac{1}{240} -\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{60} +\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{72} =\tfrac{1}{240}-\tfrac{1}{120}+\tfrac{1}{216} =\tfrac{1}{2160}.]

Resposta

Para as ordens solicitadas obtemos:
\det(H_{1})=1,\quad \det(H_{2})=\tfrac1{12},\quad \det(H_{3})=\tfrac1{2160}.

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