Um determinante com todos os elementos de ordem unitária pode ser surpreendentemente pequeno. O determinante de Hilbert Hi j=(i+j-1)^-1, i, j=1,2, ldots, n é notório por seus valores pequenos.
(a) Calcule o valor dos determinantes de Hilbert de ordem n para n=1, 2 e 3 .

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz de Hilbert de ordem n, onde
Hij=1i+j-1, i,j=1,2,dots,n
O que precisamos: aplicar a definição de determinante para 1times1, a regra simples para 2times2 e a expansão por cofatores (Laplace) para 3times3.

Passo 2

Para n=1 a matriz de Hilbert é
H1=l(1/(1+1-1)r)=(1),
então
det(H1)=1

Passo 3

Para n=2 temos
H2= 1 & tfrac12 tfrac12 & tfrac13
Pela fórmula do determinante de uma matriz 2times2,
det(H2) =1cdottfrac13-l(tfrac12r)^2 =tfrac13-tfrac14 =tfrac112

Passo 4

Para n=3 a matriz é
H3= 1 & tfrac12 & tfrac13 tfrac12 & tfrac13 & tfrac14 tfrac13 & tfrac14 & tfrac15
Usando expansão por cofatores na primeira linha:
det(H3) =1cdottfrac13 & tfrac14[3pt]tfrac14 & tfrac15 -tfrac12cdottfrac12 & tfrac14[3pt]tfrac13 & tfrac15 +tfrac13cdottfrac12 & tfrac13[3pt]tfrac13 & tfrac14
Cada 2times2 é
tfrac13 & tfrac14[3pt]tfrac14 & tfrac15 =tfrac115-tfrac116=tfrac1240, tfrac12 & tfrac14[3pt]tfrac13 & tfrac15 =tfrac110-tfrac112=tfrac160,
tfrac12 & tfrac13[3pt]tfrac13 & tfrac14 =tfrac18-tfrac19=tfrac172
Substituindo,
det(H3) =;1cdottfrac1240 -tfrac12cdottfrac160 +tfrac13cdottfrac172 =tfrac1240-tfrac1120+tfrac1216 =tfrac12160 ]

Resposta

Para as ordens solicitadas obtemos:
det(H1)=1, det(H2)=tfrac112, det(H3)=tfrac12160

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