A base de uma pirâmide regular é um hexágono inscrito em um círculo de 12 cm de diâmetro. Calcule a altura da pirâmide, sabendo que a área da base é a décima parte da área lateral.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma pirâmide regular cuja base é um hexágono regular inscrito num círculo de diâmetro 12,cm (logo raio 6,cm). Precisamos calcular a altura h da pirâmide, sabendo que a área da base B é a décima parte da área lateral L. Para isso vamos usar:
1. Fórmula da área de um polígono regular de n lados, lado s e apótema a:
B = n,s,a2
2. Fórmula da área lateral de pirâmide regular de perímetro P e geratriz (altura lateral) ell:
L = P,ell2
3. Relação entre geratriz ell, altura h e apótema da base a:
ell^2 = h^2 + a^2

Passo 2

Calculamos as medidas do hexágono regular inscrito em círculo de raio R=6,cm:
– Lado s=R=6,cm.
– Perímetro P=6s=36,cm.
– Apótema da base
a = Rcosl(tfracpi6r) = 6cdotraiz32 = 3raiz3 cm
– Área da base
B = n,s,a2 = 6cdot6cdot(3raiz3)2 = 54raiz3 cm^2

Passo 3

Como B é a décima parte de L, temos
L = 10,B = 10cdot(54raiz3) = 540raiz3 cm^2
Mas também
L = P,ell2 = 36,ell2 = 18,ell
Igualando as duas expressões para L:
18,ell = 540raiz3 Longrightarrow ell = 540raiz318 = 30raiz3 cm

Passo 4

Agora usamos a relação entre geratriz ell, apótema da base a e altura h:
ell^2 = h^2 + a^2 Longrightarrow h^2 = ell^2 - a^2 = (30raiz3)^2 - (3raiz3)^2 = 2700 - 27 = 2673
Logo
h = raiz2673 = 9raiz33 cm

Resposta

A altura da pirâmide é 9raiz33 cm.

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