As bases de um trapézio medem 12 m e 18 m e os lados oblíquos às bases medem 5 m e 7 m . Determine os lados do menor triângulo que obtemos ao prolongar os lados oblíquos às bases.

Passo 1

O enunciado dá um trapézio ABCD cujas bases são AB=12 m e CD=18 m e cujos lados oblíquos são AD=5 m e BC=7 m. Ao prolongar as retas AD e BC elas se encontram em um ponto P, formando o triângulo PAB, que é o menor triângulo obtido. Para encontrar seus lados, vamos explorar semelhança de triângulos, já que ABparal<=l CD.

Passo 2

Como ABparal<=l CD, os ângulos em P e em D são correspondentes, e também os ângulos em A e em C são correspondentes. Logo,
triang<= PAB sim triang<= PDC
e as razões correspondentes são
PAPD ;=;ABDC, PBPC ;=;ABDC

Passo 3

Calculamos a razão entre as bases:
ABDC ;=;1218 ;=;23
Portanto
PA = tfrac23,PD, PB = tfrac23,PC

Passo 4

Como PD é composto por PA mais o segmento AD=5, temos
PD = PA + 5
Substituindo na semelhança:
PA = tfrac23(PA + 5) ;Longrightarrow; PA = 10 m

Passo 5

De modo análogo, PC = PB + BC = PB + 7, e pela semelhança
PB = tfrac23(PB + 7) ;Longrightarrow; PB = 14 m
O terceiro lado do triângulo é a própria base AB=12 m.

Resposta

Os lados do menor triângulo formado são 10 m, 12 m e 14 m.

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