De um triângulo A B C sabemos que o ângulo A é o dobro do ângulo C, que AB=6 m e que AC=10 m. Determine BC.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo ABC em que o ângulo hat A é o dobro do ângulo hat C, ou seja, hat A = 2hat C. Sabemos também que AB=6 m e AC=10 m. O objetivo é determinar BC. Para isso, vamos usar trigonometria: a lei dos senos e a identidade sin3theta=3sintheta-4sin^3theta.

Passo 2

Denotemos
BC=a, CA=b=10 e AB=c=6.
Seja hat C=theta. Então hat A=2theta e
hat B = 180^circ - (hat A + hat C) = 180^circ - 3theta

Passo 3

Pela lei dos senos, temos
csin C ;=;bsin B ;Longrightarrow; 6sintheta =10sin(180^circ-3theta) =10sin3theta

Passo 4

Isto implica
sin3theta = 106,sintheta = 53sintheta
Usando sin3theta=3sintheta-4sin^3theta, vem
3sintheta-4sin^3theta = 53sintheta
Dividindo por sintheta (não nulo em triângulo),
3 - 4sin^2theta = 53 Longrightarrow sin^2theta = 13 Longrightarrow sintheta = 1raiz3

Passo 5

Para achar a, voltamos à lei dos senos:
asin A = csin C Longrightarrow a = csintheta,sin(2theta)
Como sintheta=tfrac1raiz3 e sin(2theta)=2sinthetacostheta,
a = 6raiz3;times;21raiz3costheta =12costheta =12raiz1-13 =12raiz23 =4raiz6

Resposta

BC = 4raiz6 m.

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