Prolongando-se os lados oblíquos às bases de um trapézio, obtemos um ponto E e os triângulos ECD e EAB. Determine a relação entre as alturas dos dois triângulos, relativas aos lados que são bases do trapézio, sendo 12 cm e 4 cm as medidas das bases do trapézio.

Passo 1

O enunciado descreve um trapézio ABCD com bases paralelas AB e CD, medindo AB=12 cm e CD=4 cm. Ao prolongar os lados não paralelos AD e BC, eles se cruzam no ponto E, formando os triângulos EAB e ECD. Queremos a relação entre as alturas desses triângulos traçadas sobre as bases do trapézio.

Passo 2

Observe que ABparal<=l CD. No triângulo EAB, a base é AB e a altura é hAB. No triângulo ECD, a base é CD e a altura é hCD. Como as lados EA e EC formam com as paralelas ângulos correspondentes iguais, temos
ang<= AEB = ang<= CED e ang<= EAB = ang<= ECD,
logo os triângulos EAB e ECD são semelhantes.

Passo 3

Da semelhança dos triângulos decorre que as razões entre quaisquer dois lados correspondentes são iguais. Em particular,
ABCD ;=;hABhCD
Substituindo AB=12 cm e CD=4 cm, vem
hABhCD =ABCD =124 =3

Resposta

A altura do triângulo EAB é 3 vezes a altura do triângulo ECD, ou seja,
hAB:hCD=3:1

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