Num círculo de centro
e raio
, considera-se uma corda
. Calcule a medida do raio do círculo inscrito no setor circular OAB .
Passo 1
O enunciado dá um círculo de centro
e raio
e uma corda
de comprimento
Pede-se o raio
do maior círculo que cabe dentro do setor circular
. Para resolver, vamos (1) determinar o ângulo central
em função de
e
e (2) usar as condições de tangência do círculo inscrito às retas
,
e ao arco
.
Passo 2
Pela fórmula da corda em função do ângulo central,
Como
, temos
logo
Passo 3
Seja
o raio do círculo inscrito e
a distância do ponto
(centro do setor) ao centro desse círculo. Como ele é tangente às retas
e
, a distância perpendicular a cada lado vale
, e por trigonometria no triângulo formado pelo centro do setor, o centro do círculo inscrito e uma reta lateral:
Como ele também é tangente por dentro ao arco de raio
, as distâncias dos centros satisfazem
Estas duas equações permitem achar
.
Passo 4
Das equações
substituímos
na primeira:
Como
, segue