Num círculo de centro O e raio R, considera-se uma corda A B=R2. Calcule a medida do raio do círculo inscrito no setor circular OAB .

Passo 1

O enunciado dá um círculo de centro O e raio R e uma corda AB de comprimento
AB = tfracR2
Pede-se o raio rho do maior círculo que cabe dentro do setor circular OAB. Para resolver, vamos (1) determinar o ângulo central theta=ang<= AOB em função de R e AB e (2) usar as condições de tangência do círculo inscrito às retas OA, OB e ao arco AB.

Passo 2

Pela fórmula da corda em função do ângulo central,
AB = 2Rsinl(tfractheta2r)
Como AB = tfracR2, temos
2Rsinl(tfractheta2r) = tfracR2 Longrightarrow sinl(tfractheta2r) = tfrac14,
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theta = 2arcsinl(tfrac14r)

Passo 3

Seja rho o raio do círculo inscrito e x a distância do ponto O (centro do setor) ao centro desse círculo. Como ele é tangente às retas OA e OB, a distância perpendicular a cada lado vale rho, e por trigonometria no triângulo formado pelo centro do setor, o centro do círculo inscrito e uma reta lateral:
rho = x,sinl(tfractheta2r)
Como ele também é tangente por dentro ao arco de raio R, as distâncias dos centros satisfazem
x + rho = R
Estas duas equações permitem achar rho.

Passo 4

Das equações
rho = x,sinl(tfractheta2r), x + rho = R,
substituímos x = R - rho na primeira:
rho = (R - rho),sinl(tfractheta2r) ;Longrightarrow; rhol(1 + sin(tfractheta2)r) = R,sinl(tfractheta2r)
Como sin(tfractheta2) = tfrac14, segue
rho = Rcdot141+14 = R/45/4 = R5

Resposta

R5

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