Prove que o diâmetro de um círculo inscrito em um trapézio isósceles é média geométrica entre as bases do trapézio.

Passo 1

Temos um trapézio isósceles ABCD com as bases paralelas AB e CD, de comprimentos a e b respectivamente, e um círculo inscrito que toca todos os quatro lados. Queremos mostrar que o diâmetro D desse círculo é a média geométrica entre a e b. Para isso usaremos a condição de circunscrição (soma de lados opostos iguais) e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Num quadrilátero circunscrevível vale que a soma dos comprimentos de lados opostos é igual. Como o trapézio é isósceles, os lados não paralelos são iguais, digamos BC = DA = l. Logo,
AB + CD = BC + DA Longrightarrow a + b = l + l = 2l
Assim
l = a + b2

Passo 3

O diâmetro D do círculo inscrito coincide com a altura h do trapézio (distância entre as bases). Ao descer a altura de A até CD obtemos um triângulo retângulo de hipotenusa l, cateto horizontal b-a2 e cateto vertical h. Pelo Teorema de Pitágoras:
l^2 = gl(b - a2gr)^2 + h^2

Passo 4

Substituindo l = tfraca + b2 em
(a + b2)^2 = (b - a2)^2 + h^2
temos
a^2 + 2ab + b^24 = b^2 - 2ab + a^24 + h^2 Longrightarrow h^2 = ab

Passo 5

Como h = raizab e D = h, concluímos que
D = raizab,
ou seja, o diâmetro do círculo inscrito é a média geométrica entre as bases.

Resposta

O diâmetro do círculo inscrito é raizab.

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