Prove que o diâmetro de um círculo inscrito em um trapézio isósceles é média geométrica entre as bases do trapézio.
Passo 1
Temos um trapézio isósceles
com as bases paralelas
e
, de comprimentos
e
respectivamente, e um círculo inscrito que toca todos os quatro lados. Queremos mostrar que o diâmetro
desse círculo é a média geométrica entre
e
. Para isso usaremos a condição de circunscrição (soma de lados opostos iguais) e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Num quadrilátero circunscrevível vale que a soma dos comprimentos de lados opostos é igual. Como o trapézio é isósceles, os lados não paralelos são iguais, digamos
. Logo,
Assim
Passo 3
O diâmetro
do círculo inscrito coincide com a altura
do trapézio (distância entre as bases). Ao descer a altura de
até
obtemos um triângulo retângulo de hipotenusa
, cateto horizontal
e cateto vertical
. Pelo Teorema de Pitágoras:
Passo 4
Substituindo
em
temos
Passo 5
Como
e
, concluímos que
ou seja, o diâmetro do círculo inscrito é a média geométrica entre as bases.
Resposta
O diâmetro do círculo inscrito é
.