(ITA-88) Num losango ABCD, a soma dos ângulos obtusos é o triplo da soma das medidas dos ângulos agudos. Se a sua diagonal menor mede d cm então sua aresta medirá:
a) \frac{\mathrm{d}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}
b) \frac{\mathrm{d}}{\sqrt{2-\sqrt{2}}}
c) \frac{\mathrm{d}}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}
d) \frac{\mathrm{d}}{\sqrt{3-\sqrt{3}}}
e) \frac{d}{\sqrt{3-\sqrt{2}}}

Passo 1

O enunciado trata de um losango ABCD em que a soma dos dois ângulos obtusos vale o triplo da soma dos dois ângulos agudos, e pede a aresta a em função da diagonal menor d. Para resolver isso, precisaremos (i) achar a medida do ângulo agudo \alpha do losango a partir da condição dada e (ii) usar as fórmulas das diagonais de um losango de lado a e ângulo \alpha.

Passo 2

Sejam \alpha o ângulo agudo do losango e 180^\circ-\alpha o obtuso. Como há dois de cada, temos
\text{soma dos obtusos} = 2\bigl(180^\circ-\alpha\bigr), \qquad \text{soma dos agudos} = 2\alpha.
A condição é
2\bigl(180^\circ-\alpha\bigr) = 3\cdot 2\alpha.
Em forma simplificada:
360^\circ - 2\alpha = 6\alpha \quad\Longrightarrow\quad 360^\circ = 8\alpha \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 45^\circ.

Passo 3

Num losango de lado a e ângulo interno \alpha, as diagonais valem
d_1 = a\,\sqrt{2 - 2\cos\alpha}, \qquad d_2 = a\,\sqrt{2 + 2\cos\alpha}.
Como \alpha=45^\circ<90^\circ, a menor diagonal é
d = d_1 = a\,\sqrt{2-2\cos45^\circ}.

Passo 4

Sabendo que \cos45^\circ = \tfrac{\sqrt2}{2}, o fator sob a raiz fica
2 - 2\cdot\tfrac{\sqrt2}{2} = 2 - \sqrt2.
Logo
d = a\,\sqrt{2-\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{d}{\sqrt{2-\sqrt2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{d}{\sqrt{2-\sqrt2}}, opção (b).

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