Ex. 8.15 - Em cada caso abaixo, determine m in N^* de modo que
1-n^2<-10^10, para todo n >= m.

Passo 1

O enunciado nos pede determinar um inteiro minN^* tal que, para todo n>= m, valha
1 - n^2 < -10^10
O que precisamos usar é a propriedade de desigualdade em funções crescentes de n, neste caso nmapsto n^2.

Passo 2

Começamos manipulando a desigualdade passo a passo:
1 - n^2 < -10^10
iff -,n^2 < -,10^10 - 1
iff n^2 > 10^10 + 1

Passo 3

Para encontrar n basta tirar raiz quadrada em ambos os lados (observando que n>0):
n > raiz10^10 + 1

Passo 4

Como raiz10^10 = 10^5, temos
raiz10^10 + 1 > 10^5
O menor inteiro n estritamente maior que 10^5 é 10^5+1 = 100001. Logo, para todo n>=100001 vale n> raiz10^10+1 e, consequentemente, 1-n^2< -10^10.

Resposta

m = 100001.

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