Em cada caso a seguir, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o grau e os zeros indicados.
Grau 4, com zeros x=-6, x=6 e x=raiz3 (com multiplicidade 2).

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de grau 4 que tenha zeros em x=-6, x=6 e x=raiz3 com multiplicidade 2. O conteúdo aqui é a construção de um polinômio a partir de suas raízes e a expansão de produtos de fatores quadráticos.

Passo 2

Como queremos coeficiente líder igual a 1, escrevemos a forma fatorada:
f(x) = (x + 6),(x - 6),(x - raiz3)^2

Passo 3

Vamos primeiro expandir cada parte:
(x + 6),(x - 6) = x^2 - 36,
(x - raiz3)^2 = x^2 - 2raiz3,x + 3

Passo 4

Agora multiplicamos os dois quadráticos:
f(x) = (x^2 - 36),(x^2 - 2raiz3,x + 3)
Fazendo o produto termo a termo:
f(x) &= x^2,(x^2 - 2raiz3,x + 3) -36,(x^2 - 2raiz3,x + 3) &= x^4 - 2raiz3,x^3 + 3x^2 -36x^2 + 72raiz3,x - 108 &= x^4 - 2raiz3,x^3 - 33x^2 + 72raiz3,x - 108

Resposta

f(x) = x^4 - 2raiz3,x^3 - 33x^2 + 72raiz3,x - 108

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