Sabendo que x=4 é um zero da função f(x)=2 x^3-3 x^2-23 x+12,
a) determine todos os zeros de f(x);
b) escreva f(x) na forma fatorada;
c) resolva a inequação f(x) <= 0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2x^3-3x^2-23x+12
e informa que ,x=4 é uma raiz. Precisamos encontrar todas as raízes (a), escrever f(x) fatorada (b) e resolver a inequação f(x)<=0 (c). Vamos usar divisão sintética para obter o fator quadrático, depois resolver a equação desse quadrático e, por fim, fazer o estudo de sinais.

Passo 2

Aplicamos divisão sintética de por . Os coeficientes de são .
Logo o quociente é e o resto é zero, confirmando que é raiz.

Passo 3

Resolvemos agora
2x^2+5x-3=0
Usando a fórmula de Bhaskara,
x=-5pmraiz5^2-4cdot2cdot(-3)2cdot2 =-5pmraiz25+244 =-5pm74
Isso dá as raízes
x=-5+74=24=12 e x=-5-74=-124=-3

Passo 4

Portanto, os fatores lineares de f são (x-4), l(x-tfrac12r) e (x+3). Verificando o coeficiente líder, escrevemos
f(x)=(x-4)(2x-1)(x+3)

Passo 5

Para resolver , fazemos o estudo de sinais dos fatores:
– As raízes em ordem crescente são .
– Em cada intervalo, contamos quantos fatores são negativos:
Logo quando ou é zero, ou seja em

Resposta

a) As raízes são x=-3,;tfrac12,;4.
b) f(x)=(x-4)(2x-1)(x+3).
c) f(x)<=0 para xin(-infty,-3]cup[tfrac12,4].

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