Em cada caso a seguir, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o grau e os zeros indicados.
Grau 5 , com zeros x=-1 / 3, x=-2 / 3, x=4 / 3 e x=5 / 3 (com multiplicidade 2).

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de grau 5 cujos zeros são
-tfrac13,,-tfrac23,,tfrac43 e tfrac53 (este com multiplicidade 2).
Vamos usar o Teorema do Fator: se r é raiz, então (x-r) é fator do polinômio.

Passo 2

Escrevemos o polinômio monico (termo de grau 5 igual a x^5) na forma fatorada:
p(x)=(x+tfrac13),(x+tfrac23),(x-tfrac43),l(x-tfrac53r)^2

Passo 3

Para facilitar a expansão e obter coeficientes inteiros, definimos
tilde p(x)=(3x+1),(3x+2),(3x-4),(3x-5)^2
Note que tilde p(x) e p(x) têm as mesmas raízes e tilde p é de grau 5 com coeficientes inteiros.

Passo 4

Expandindo em etapas:
(3x+1)(3x+2)=9x^2+9x+2,
(3x-5)^2=9x^2-30x+25,
(3x-4)(9x^2-30x+25) =27x^3-126x^2+195x-100,
tilde p(x)=(9x^2+9x+2),(27x^3-126x^2+195x-100) =243x^5-891x^4+675x^3+603x^2-510x-200

Resposta

p(x)=243x^5-891x^4+675x^3+603x^2-510x-200

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