Fazendo a mudança de variável w=x^2, determine os zeros das funções dadas e as escreva na forma fatorada.
p(x)=x^4-13 x^2+36

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes de p(x)=x^4-13x^2+36 usando a mudança de variável w=x^2. Com isso, transformamos a equação quartica numa quadrática em w.

Passo 2

Fazendo w=x^2, reescrevemos
p(x)=w^2 -13w +36
Para encontrar as raízes em w, resolvemos
w^2 -13w +36 = 0
O discriminante é
De<a =(-13)^2 -4cdot1cdot36 =169 -144 =25,
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w = 13 pm raiz252 = 13 pm 52,
de onde surgem
w1 =9 e w2 =4

Passo 3

Cada valor de w gera duas raízes em x:
x^2 =9 implies x=pm3, x^2 =4 implies x=pm2
Assim podemos fatorar
p(x) = (x^2 -9)(x^2 -4)
E, por fim,
p(x) = (x-3)(x+3)(x-2)(x+2)

Resposta

As raízes de p(x) são
x = -3,;-2,;2,;3
e a fatoração completa é
p(x) = (x-3)(x+3)(x-2)(x+2)

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