Em cada caso a seguir, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o grau e os zeros indicados.
Grau 6, com zeros x=-1 / 2 (com multiplicidade 3), x=-raiz2, x=raiz2 e x=0.

Passo 1

O enunciado pede um polinômio de grau 6 com zeros em -tfrac12 (multiplicidade 3), -raiz2, raiz2 e 0. O conteúdo usado aqui é a fatoração de polinômios a partir de suas raízes e a expansão dos produtos de fatores.

Passo 2

Cada zero x=r gera um fator (x-r). Como x=-tfrac12 tem multiplicidade 3, juntamos três fatores l(x+tfrac12r)^3. Os zeros pmraiz2 dão o fator (x-raiz2)(x+raiz2) e o zero em 0 dá o fator x. Tomamos o coeficiente líder igual a 1 para simplicidade. Assim, em forma fatorada:
f(x)=x;l(x+tfrac12r)^3;(x-raiz2)(x+raiz2)

Passo 3

Observamos que
(x-raiz2)(x+raiz2)=x^2-2,
então
f(x)=x;l(x+tfrac12r)^3;(x^2-2)

Passo 4

Primeiro, expandimos l(x+tfrac12r)^3. Usamos a fórmula do cubo da soma:
l(x+tfrac12r)^3 =x^3+3cdot x^2!cdottfrac12+3cdot x!cdotl(tfrac12r)^2+l(tfrac12r)^3 =x^3+tfrac32x^2+tfrac34x+tfrac18
Multiplicando por x temos
xl(x+tfrac12r)^3 =x^4+tfrac32x^3+tfrac34x^2+tfrac18x

Passo 5

Agora multiplicamos esse polinômio por (x^2-2). Chamemos
P(x)=x^4+tfrac32x^3+tfrac34x^2+tfrac18x
Então
f(x)=P(x),(x^2-2) =P(x),x^2-2,P(x)
Expandindo termo a termo:
P(x),x^2&=x^6+tfrac32x^5+tfrac34x^4+tfrac18x^3, 2,P(x)&=2x^4+3x^3+tfrac32x^2+tfrac14x
Subtraindo 2,P(x) de P(x),x^2 e coletando termos semelhantes, obtemos
f(x) =x^6+tfrac32x^5+l(tfrac34-2r)x^4+l(tfrac18-3r)x^3-tfrac32x^2-tfrac14x

Passo 6

Calculando os coeficientes:
tfrac34-2=-tfrac54, tfrac18-3=-tfrac238
Logo, a forma expandida final é
f(x) =x^6+tfrac32x^5-tfrac54x^4-tfrac238x^3-tfrac32x^2-tfrac14x

Resposta

f(x)=x^6+32x^5-54x^4-238x^3-32x^2-14x

Exercícios de Livros Relacionados