Em cada caso a seguir, escreva na forma expandida uma função polinomial que tenha o grau e os zeros indicados.
Grau 6, com zeros
(com multiplicidade 3),
e
.
Grau 6, com zeros
Passo 1
O enunciado pede um polinômio de grau 6 com zeros em
(multiplicidade 3),
,
e
. O conteúdo usado aqui é a fatoração de polinômios a partir de suas raízes e a expansão dos produtos de fatores.
Passo 2
Cada zero
gera um fator
. Como
tem multiplicidade 3, juntamos três fatores
. Os zeros
dão o fator
e o zero em
dá o fator
. Tomamos o coeficiente líder igual a 1 para simplicidade. Assim, em forma fatorada:
Passo 3
Observamos que
então
Passo 4
Primeiro, expandimos
. Usamos a fórmula do cubo da soma:
Multiplicando por
temos
Passo 5
Agora multiplicamos esse polinômio por
. Chamemos
Então
Expandindo termo a termo:
Subtraindo
de
e coletando termos semelhantes, obtemos
Passo 6
Calculando os coeficientes:
Logo, a forma expandida final é